Definició (axiomàtica) de la probabilitat i les seves propietats

Definició (axiomàtica) de la probabilitat

Durant el segle XX, un matemàtic rus, Andrei Kolmogorov, va proposar una definició de probabilitat, que és la que seguim utilitzant avui en dia.

Si fem un determinat experiment, que té un espai mostral $\mathrm{\Omega }$, definim la probabilitat com una funció que associa a cada succés $A$ una determinada probabilitat, $P(A)$, que compleix les següents propietats:

1. La probabilitat de qualsevol succés $A$ és positiva o zero. És a dir, $P(A)\ge 0$. La probabilitat mesura, en certa manera, com és de difícil que passi un succés $A$: com menor sigui la probabilitat, més difícil és que passi.

2. La probabilitat del succés segur és $1$. És a dir, $P(\mathrm{\Omega })=1$. Així doncs, la probabilitat sempre és més gran que $0$ i menor que $1$: probabilitat zero vol dir que no hi ha cap possibilitat que passi (és un succés impossible), i probabilitat $1$, que sempre passa (és un succés segur).

3. La probabilitat de la unió d'un conjunt qualsevol de successos incompatibles dos a dos és la suma de les probabilitats dels successos. És a dir, si tenim, per exemple, els successos $A,B,C$, i són incompatibles dos a dos, aleshores $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).$

Nota: En matemàtiques, un axioma és un resultat que s'accepta sense que necessiti demostració. En aquest cas, diem que aquesta és la definició axiomàtica de la probabilitat perquè definim la probabilitat com una funció que compleix aquests tres axiomes. També podríem haver escollit uns axiomes diferents, i llavors per a nosaltres la probabilitat seria una altra cosa.

Principals propietats de la probabilitat

• $P(A)+P(\bar{A})=1$

És a dir, les probabilitats dels successos complementaris sumen $1$. Moltes vegades utilitzarem aquesta propietat per calcular probabilitat del complementari: $P(\bar{A})=1-P(A)$.

Vegem per què. Sabem que, d'una banda, $A$ i $\bar{A}$ són incompatibles, i de l'altra, $A\cup \bar{A}=\mathrm{\Omega }$, ja que un és el contrari de l'altre. Això és una altra manera d'entendre el que ja sabíem, que el succés $A\cup \bar{A}$ és un succés segur, i per tant, per l'axioma 2, $P(A\cup \bar{A})=1$, és a dir, sempre passa. Llavors, per l'axioma 3, $P(A\cup \bar{A})=P(A)+P(\bar{A})$. Pero $P(A\cup \bar{A})=P(\mathrm{\Omega })=1$, per la qual cosa $P(A)+P(\bar{A})=1$.

Aquesta propietat, que ens resulta molt útil, es pot generalitzar:

Si tenim tres o més successos, incompatibles dos a dos, i tals que la seva unió és tot l'espai mostral, és a dir, $A,B,C$ incompatibles dos a dos tals que $A\cup B\cup C=\mathrm{\Omega }$, llavors $P(A)+P(B)+P(C)=1$, pels axiomes 2 i 3.

Diem en aquest cas que $A,B,C$ formen un sistema complet de successos. Observem que sempre que expressem $\mathrm{\Omega }$ com a conjunt de successos elementals, en realitat estem donant un sistema complet de successos.

Com a conseqüència, $P(\mathrm{\varnothing })=0$, és a dir, la probabilitat del succés impossible és $0$, ja que, com sabem que el succés contrari al succés impossible és el succés segur, llavors podem substituir això en la igualtat de la propietat, $P(\mathrm{\varnothing })+P(\mathrm{\Omega })=1$. Per tant, com pel segon axioma de la probabilitat $P(\mathrm{\Omega })=1$, tenim que $P(\mathrm{\varnothing })+1=1$, per la qual cosa $P(\mathrm{\varnothing })=0$.

• Si $A\subset B$, llavors $P(A)\le P(B)$

La notació "si $A\subset B$" vol dir "si el succés $A$ està inclòs en el succés $B$", és a dir, si tots els resultats possibles que compleixen $A$ també compleixen $B$.

Aquesta propietat és bastant lògica: si en tirar un dau, volem comparar la probabilitat de $A=$"treure un $2$" amb $B=$"treure un nombre parell", llavors, la probabilitat d'$A$ ha de ser més petita o igual que la de $B$, ja que si traiem un $2$, estem traient un nombre parell. En altres paraules, quan es compleix $A$, també es compleix $B$, de manera que hauria de ser més difícil complir $A$ de complir $B$. És a dir, $P(A)\le P(B)$.

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Aquest resultat, que és molt important recordar, és conseqüència de la Teoria de conjunts: donats dos conjunts, $A$ i $B$, pots expressar la seva unió com $A\cup B=(A-B)\cup (A\cap B)\cup (B-A),$ que són incompatibles dos a dos. Aleshores, per l'axioma 3, $P(A\cup B)=P(A-B)+P(A\cap B)+P(B-A)$.

També en Teoria de conjunts es veu que $A=(A-B)\cup (A\cap B)$, que són dos successos incompatibles, i per tant, per l'axioma 3 $P(A)=P(A-B)+P(A\cap B)$, és a dir, $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$.

Anàlogament,

$B=(B-A)\cup (B\cap A)=(B-A)\cup (A\cap B)$, per la qual cosa $P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)$.

Substituint aquestes probabilitats en la igualtat, trobem

$P(A\cup B)=P(A-B)+P(A\cap B)+P(B-A)=$ $=P(A)-P(A\cap B)+P(A\cap B)+(P(B)-P(A\cap B))=$ $=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Amb tot el que sabem fins ara, podem resoldre molts problemes de probabilitat. Vegem alguns exemples.