Ejercicios de Derivabilidad y su relación con la continuidad

Desarrollo:

Para estudiar la derivabilidad en $x=1$ debemos hacer las derivadas laterales en $x=1$ y ver si sus valores existen y coinciden.

a) $f(x)=x^3+x-2$

$$f^{\prime }(0^{-})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^3+(1+\mathrm{\Delta }x)-2-1^3-1+2}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{1+3\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{x}^3+1+\mathrm{\Delta }x-2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}^3+3\mathrm{\Delta }{x}^2+4\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}(\mathrm{\Delta }{x}^2+3\mathrm{\Delta }x+4)=4$$

$$f^{\prime }(0^{+})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^3+(1+\mathrm{\Delta }x)-2-1^3-1+2}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{1+3\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{x}^3+1+\mathrm{\Delta }x-2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}^3+3\mathrm{\Delta }{x}^2+4\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}(\mathrm{\Delta }{x}^2+3\mathrm{\Delta }x+4)=4$$

Los dos valores coinciden, pues sobrevive el término independiente $4$ que domina sobre los $m$ posible valores de $\mathrm{\Delta }x$. Por lo tanto, esta función es derivable en $x=1$.

Como es derivable podemos afirmar que es continua.

b) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$

$$f^{\prime }(0^{-})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{(1+\mathrm{\Delta }x-1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{(1-1{)}^2}}}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }{x}^2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{0}})=-\mathrm{\infty }$$

$$f^{\prime }(0^{+})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{(1+\mathrm{\Delta }x-1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{(1-1{)}^2}}}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }{x}^2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{0}})=+\mathrm{\infty }$$

Los dos valores no coinciden, o sea que la función no es derivable en $x=1$.

No podemos decir nada de la continuidad en $x=1$.

Solución:

La primera función es derivable y continua en $x=1$.

La segunda no es derivable en $x=1$.

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