Exercicis de Derivabilitat i la seva relació amb la continuïtat

Desenvolupament:

Per estudiar la derivabilitat en $x=1$ hem de fer les derivades laterals en $x=1$ i veure si els seus valors existeixen i coincideixen.

a) $f(x)=x^3+x-2$

$$f^{\prime }(0^{-})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^3+(1+\mathrm{\Delta }x)-2-1^3-1+2}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{1+3\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{x}^3+1+\mathrm{\Delta }x-2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}^3+3\mathrm{\Delta }{x}^2+4\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}(\mathrm{\Delta }{x}^2+3\mathrm{\Delta }x+4)=4$$

$$f^{\prime }(0^{+})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^3+(1+\mathrm{\Delta }x)-2-1^3-1+2}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{1+3\mathrm{\Delta }x+3\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{x}^3+1+\mathrm{\Delta }x-2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{x}^3+3\mathrm{\Delta }{x}^2+4\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}(\mathrm{\Delta }{x}^2+3\mathrm{\Delta }x+4)=4$$

Els dos valors coincideixen, ja que sobreviu el terme independent $4$ que domina sobre els possibles valors de $\mathrm{\Delta }x$. Per tant, aquesta funció és derivable en $x=1$.

Com que és derivable podem afirmar que és contínua.

b) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$

$$f^{\prime }(0^{-})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{(1+\mathrm{\Delta }x-1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{(1-1{)}^2}}}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }{x}^2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{0}})=-\mathrm{\infty }$$

$$f^{\prime }(0^{+})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{(1+\mathrm{\Delta }x-1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{(1-1{)}^2}}}{\mathrm{\Delta }x}}=$$ $$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}({\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }{x}^2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }x}{0}})=+\mathrm{\infty }$$

Els dos valors no coincideixen, és a dir que la funció no és derivable en $x=1$.

No podem dir res de la continuïtat en $x=1$.

Solució:

La primera funció és derivable en $x=1$.

La segona no és derivable en $x=1$.

Amagar desenvolupament i solució