Estudiar la derivabilitat de les següents funcions en el punt $$x=1$$.
a) $$f(x)=x^3+x-2$$
b) $$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$$
Podem afirmar alguna cosa sobre la seva continuïtat?
Desenvolupament:
Per estudiar la derivabilitat en $$x = 1$$ hem de fer les derivades laterals en $$x = 1$$ i veure si els seus valors existeixen i coincideixen.
a) $$f(x)=x^3+x-2$$
$$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$$
$$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$$
Els dos valors coincideixen, ja que sobreviu el terme independent $$4$$ que domina sobre els possibles valors de $$\Delta x$$. Per tant, aquesta funció és derivable en $$x=1$$.
Com que és derivable podem afirmar que és contínua.
b) $$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$$
$$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=-\infty$$$
$$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=+\infty$$$
Els dos valors no coincideixen, és a dir que la funció no és derivable en $$x=1$$.
No podem dir res de la continuïtat en $$x=1$$.
Solució:
La primera funció és derivable en $$x=1$$.
La segona no és derivable en $$x=1$$.