Derivabilitat i la seva relació amb la continuïtat

Derivabilitat

La funció derivada no sempre existeix, ja que pot passar que en algun punt el límit no pugui ser calculat.

No obstant això existeixen unes condicions que ens permeten assegurar l'existència de la funció derivada.

Quan això succeeix es diu que la funció $f (x)$ és derivable.

Sigui la funció definida a trossos: $f (x) = {\begin{array}{rcl} x & si & x < 0 \\ x^{2} & si & x \geq 0 \end{array}$ El punt $x = 0$ és especial. Existeix la derivada en aquest punt?

Per veure si la derivada existeix en el punt $x = 0$ s'utilitza el mètode següent: es busca el valor de la derivada acostant-se al punt $x = 0$ per l'esquerra i després per la dreta.

Si els dos valors existeixen i coincideixen direm que la funció és derivable a $x = 0$ .

Vegem l'exemple:

Exemple

Calculem les derivades laterals:

Acostar-se a $x = 0$ per l'esquerra vol dir fer el següent: $f^{'} (0^{-}) = lim_{Δ x t o 0^{-}} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x}$

(No fem tendir $Δ x$ a zero des de totes les direccions, sinó que hem de tenir en compte que el valor de $Δ x$ ha de ser negatiu).

En apropar-nos per l'esquerra estem en el tram $f (x) = x$ , per tant el càlcul és el següent: $f^{'} (0^{-}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{(0 + Δ x) + 0}{Δ x} = 1$ En apropar-nos a $0$ per la dreta la funció és $f (x) = x^{2}$ , el càlcul és doncs: $f^{'} (0^{+}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{(0 + Δ x)^{2} + 0}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{+}} Δ x = 0$ (Ara $Δ x$ ha de ser positiu)

En aquest cas, doncs, les derivades laterals (per l'esquerra i per la dreta) existeixen però el seu valor no coincideix. Per tant la funció $f (x)$ no és derivable en el punt $x = 0$ .

Resumint, tenim la condició de derivabilitat:

'Una funció és derivable en un punt si, i només si, hi ha les derivades laterals en aquest punt i els seus valors coincideixen'.

A més, així en general, un pot veure que en els pics o punts angulosos de les funcions, les funcions no són derivables.

En altres paraules, una funció és derivable en un punt donat si la seva gràfica es desplaça suaument a través del punt.

Derivabilitat i continuïtat

Una funció derivable en un punt $a$ és també contínua en aquest punt $a$ .

(El recíproc no és cert, és a dir, una funció contínua en un punt $a$ no ha de ser derivable en aquest punt)

Anem a estudiar la continuïtat i derivabilitat de les següents funcions.

Exemple

$f (x) = {\begin{array}{rcl} 3 & si & x < 0 \\ x & si & x \geq 0 \end{array}$

Estudiar la continuïtat (3 passos: valor al punt, límit per l'esquerra i límit per la dreta): $\begin{array}{l} f (0) = 0 \\ lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 3 \\ lim_{x \to 0 ⁺} f (x) = 0 \end{array}$ El valor de la funció en $x = 0$ és nul, ja que la funció està definida així.

No obstant això, en no coincidir els límits per la dreta i l'esquerra amb el valor de la funció en aquest punt es diu que aquesta funció no és contínua en $x = 0$ .

Com que la funció no és contínua tampoc pot ser derivable.

Exemple

$f (x) = {\begin{array}{rcl} 0 & si & x < 0 \\ x & si & x \geq 0 \end{array}$ La funció és semblant a l'anterior, encara que ara en calcular el límit per l'esquerra el resultat també és zero.

Per tant la funció és contínua en $x = 0$ .

Això no vol dir que sigui derivable en $x = 0$ . Per a això un ha de fer els càlculs pertinents.

Estudiar la derivabilitat (2 passos: valor de la derivada acostant-nos per l'esquerra i per la dreta)

$\begin{array}{l} f^{'} (0^{-}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (0) - f (0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{0 + 0}{Δ x} = 0 \\ f^{'} (0^{+}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{(0 + Δ x) + 0}{Δ x} = 1 \end{array}$

Els valors no coincideixen i per això es diu que la funció $f (x)$ no és derivable en el punt $x = 0$ , encara que com s'ha vist sí que és contínua en aquest punt.