En la definició de taxa de variació mitjana es fa èmfasi en considerar un interval $$[a,a+\Delta x]$$ qualsevol. Un pot preguntar-se què passa quan fem aquest interval tan infinitament petit com sigui possible. És a dir, situant-nos en un punt $$a$$ qualsevol, l'amplada de l'interval $$\Delta x$$ es fa infinitament petita. El resultat és la definició de derivada en un punt $$a$$.
$$$\displaystyle f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$$
(Llegiu: La derivada en el punt $$a$$ és igual al límit quan $$\Delta x$$ tendeix a zero, del quocient $$\displaystyle \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$).
Seguint l'exemple anterior, es pot buscar la derivada de la funció $$y=x^2$$ en el punt $$a=3$$.
Recorrem a la seva definició: $$$\displaystyle y=f(x)=x^2 \Rightarrow f'(3)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=$$$
$$$\displaystyle=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(9+6\Delta x+\Delta x^2)-9}{\Delta x}=$$$
$$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+6\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+6=6$$$ Quan fem el límit $$\Delta x$$ tendeix a $$0$$, el resultat és: $$f '(3) = 6$$.
Vegem alguns exemples.
Trobar la derivada en $$x=0$$ de les següents funcions:
$$f(x)=x(3x-1)$$
$$$\displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(0+\Delta x)(3(0+\Delta x)-1)-0(3 \cdot 0-1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}3\Delta x-1=-1$$$
$$f(x)=\sin x $$
$$$\displaystyle f '(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x-\sin0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x }{\Delta x}=1$$$
En l'últim pas s'ha de saber que $$\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots$$