Derivada en un punt

En la definició de taxa de variació mitjana es fa èmfasi en considerar un interval $[a, a + Δ x]$ qualsevol. Un pot preguntar-se què passa quan fem aquest interval tan infinitament petit com sigui possible. És a dir, situant-nos en un punt $a$ qualsevol, l'amplada de l'interval $Δ x$ es fa infinitament petita. El resultat és la definició de derivada en un punt $a$ .

$f^{'} (a) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$

(Llegiu: La derivada en el punt $a$ és igual al límit quan $Δ x$ tendeix a zero, del quocient $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ ).

Seguint l'exemple anterior, es pot buscar la derivada de la funció $y = x^{2}$ en el punt $a = 3$ .

Recorrem a la seva definició: $y = f (x) = x^{2} \Rightarrow f^{'} (3) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3)}{Δ x} =$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{(3 + Δ x)^{2} - 3^{2}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(9 + 6 Δ x + Δ x^{2}) - 9}{Δ x} =$

$= lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x^{2} + 6 Δ x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} Δ x + 6 = 6$ Quan fem el límit $Δ x$ tendeix a $0$ , el resultat és: $f^{'} (3) = 6$ .

Vegem alguns exemples.

Trobar la derivada en $x = 0$ de les següents funcions:

Exemple

$f (x) = x (3 x - 1)$

$f^{'} (0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{(0 + Δ x) (3 (0 + Δ x) - 1) - 0 (3 \cdot 0 - 1)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x^{2} - Δ x}{Δ x} =$ $= lim_{Δ x \to 0} 3 Δ x - 1 = - 1$

Exemple

$f (x) = \sin x$

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (0 + Δ x) - f (0)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin Δ x - \sin 0}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin Δ x}{Δ x} = 1$

En l'últim pas s'ha de saber que $\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$