Derivada en un punto

En la definición de tasa de variación media se hace hincapié en considerar un intervalo $[a,a+\mathrm{\Delta }x]$ cualquiera. Uno puede preguntarse qué sucede cuando hacemos ese intervalo tan infinitamente pequeño como sea posible. Es decir, situándonos en un punto $a$ cualquiera, la anchura del intervalo $\mathrm{\Delta }x$ se hace infinitamente pequeña. El resultado es la definición de derivada en un punto $a$.

$${\displaystyle f^{\prime }(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

(Léase: La derivada en el punto $a$ ies igual al límite cuando $\mathrm{\Delta }x$ tiende a infinito, del cociente ${\displaystyle \frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}$).

Siguiendo el ejemplo anterior, se puede buscar la derivada de la función $y=x^3$ en el punto $a=3$.

Recurrimos a su definición: $${\displaystyle y=f(x)=x^2\Rightarrow f^{\prime }(3)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(3+\mathrm{\Delta }x)-f(3)}{\mathrm{\Delta }x}=}$$

$${\displaystyle =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(3+\mathrm{\Delta }x{)}^2-3^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(9+6\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2)-9}{\mathrm{\Delta }x}=}$$

$$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2+6\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }x+6=6$$ Cuando hacemos el límite $\mathrm{\Delta }x$ tiende a $0$, el resultado es: $f^{\prime }(3)=6$.

Veamos algunos ejemplos.

Encontrar la derivada en $x=0$ de las siguientes funciones: