En la definición de tasa de variación media se hace hincapié en considerar un intervalo $$[a,a+\Delta x]$$ cualquiera. Uno puede preguntarse qué sucede cuando hacemos ese intervalo tan infinitamente pequeño como sea posible. Es decir, situándonos en un punto $$a$$ cualquiera, la anchura del intervalo $$\Delta x$$ se hace infinitamente pequeña. El resultado es la definición de derivada en un punto $$a$$.
$$$\displaystyle f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$$
(Léase: La derivada en el punto $$a$$ ies igual al límite cuando $$\Delta x$$ tiende a infinito, del cociente $$\displaystyle \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$).
Siguiendo el ejemplo anterior, se puede buscar la derivada de la función $$y=x^3$$ en el punto $$a=3$$.
Recurrimos a su definición: $$$\displaystyle y=f(x)=x^2 \Rightarrow f'(3)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=$$$
$$$\displaystyle=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(9+6\Delta x+\Delta x^2)-9}{\Delta x}=$$$
$$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+6\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+6=6$$$ Cuando hacemos el límite $$\Delta x$$ tiende a $$0$$, el resultado es: $$f '(3) = 6$$.
Veamos algunos ejemplos.
Encontrar la derivada en $$x=0$$ de las siguientes funciones:
$$f(x)=x(3x-1)$$
$$$\displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(0+\Delta x)(3(0+\Delta x)-1)-0(3 \cdot 0-1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}3\Delta x-1=-1$$$
$$f(x)=\sin x $$
$$$\displaystyle f '(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x-\sin0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x }{\Delta x}=1$$$
En el último paso debe saberse que $$\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots$$