Geométricamente, la derivada de una función $$f(x)$$ en un punto dado $$a$$ me da el pendiente de la recta tangente a $$f (x)$$ en el punto $$a$$.
(Véase el dibujo para comprenderlo).
La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos $$\beta$$.
Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de tangencia.
Por lo tanto uno puede concluir $$$\tan\beta = f'(a)$$$