Derivadas parciales

Sabemos que la derivada de una función de una variable en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esto significa que sabemos la rapidez de crecimiento/decrecimiento de la función en ese punto.

imagen

Ahora supongamos que tenemos una función $f$ que depende de más de una variable, por ejemplo $f (x, y) = - x^{2} + 2 x y - y$ .

Al ser una función de dos variables la gráfica es una superficie, y entonces hay infinitas direcciones entre las que estudiar el crecimiento.

imagen

Pues bien, las derivadas parciales nos indicarán también la pendiente de una recta concreta tangente a la superficie. Antes, pero, vamos a aprender a calcular derivadas parciales, ya que es un metodologia a la que luego le daremos sentido.

Para calcular una derivada parcial de una función en diversas variables tenemos que derivar como siempre respecto una de las variables y mantener las demás como constantes, (como valores fijos).

En nuestro ejemplo $f (x, y) = - x^{2} + 2 x y - y$ , si queremos hacer la derivada parcial respecto $x$ , consideramos la variable $y$ como una constante, "un número", y entonces nos queda como derivar una función de una variable, $f (x)$ . Veamos:

Ejemplo

$- x^{2}$ sólo depende de $x$ , por lo tanto su derivada es $- 2 x$ .

$2 x y$ contiene la variable $y$ , pero es como si fuera una constante, un número. Si fuera un $3$ haríamos $2 x 3 = 6 x$ y la derivada sería $6$ . Pues ahora escribo $2 x y$ como $2 y x$ y considero $2 y$ como si fuera el $6$ . Por lo tanto la derivada de $2 x y = 2 y x$ es $2 y$ .

Y finalmente, $y$ no contiene la variable $x$ , y la derivada de una constante es $0$ , con lo que desaparece.

Ahora sólo nos falta saber la notación para poder escribirlo correcto matemáticamente. Para la derivada parcial de una función $f$ respecto la variable $x$ podemos encontrarnos las notaciones:

$\frac{δ f}{δ x}$ $δ_{x} f$ $f_{x}$

Ejemplo

Así, nuestra derivada parcial respecto $x$ de $f (x, y) = - x^{2} + 2 x y - y$ se escribe

$\frac{δ f}{δ x} = - 2 x + 2 y - 0 = 2 x + 2 y$ $δ_{x} f = - 2 x + 2 y$ $f_{x} = - 2 x + 2 y$

Y ahora os preguntaréis, ¿también podemos hacer la derivada parcial respecto $y$ no? Pues claro.

Hacemos el cálculo de $\frac{δ f}{δ y}$ , con lo cual nos imaginamos que $x$ es una constante.

Ejemplo

$- x^{2}$ no contiene la variable $y$ , y como entonces es como si tuviéramos simplemente una constante, su derivada es $0$ .

$2 x y$ contiene la variable $x$ , pero es como si fuera una constante, un número. Por lo tanto la derivada de $2 x y$ es $2 x$ .

Y finalmente, como estamos derivando respecto $y$ , la derivada de $y$ es $1$ .

Así $\frac{δ f}{δ y} = δ_{y} f = f_{y} = 2 x - 1$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

¿Pero qué es lo que significa geométricamente el cálculo de una derivada parcial? Veamos el siguiente ejemplo:

imagen

En este gráfico tenemos una superficie $z = f (x, y)$ de la cual estamos haciendo la derivada parcial respecto la variable $x$ en un punto $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ . Hemos visto que hacer la parcial respecto $x$ significa dejar la variable $y$ como constante. Mantener el valor fijo $y = y_{0}$ nos da como resultado un plano que pasa por el punto $y_{0}$ . Construimos entonces el plano que sea paralelo al eje $x$ . Este plano corta nuestra superfície. En la curva intersección consideramos la recta tangente en el punto $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ . La derivada parcial nos dará la pendiente de esta recta.

Ejemplo

Si en nuestra función de ejemplo $f (x, y) = - x^{2} + 2 x y - y$ queremos el valor de la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto $3, 1$ en la dirección del eje $x$ nos queda

$\frac{δ f}{δ x} = - 2 x + 2 y$ $\frac{δ f (3, 1)}{δ x} = (- 2) \cdot 3 + 2 \cdot 1 = - 6 + 2 = - 4$

En una función $z = f (x, y)$ , la derivada parcial respecto $y$ se representaría gráficamente siguiendo el ejemplo gráfico:

imagen

Ahora el valor constante es $x = x_{0}$ y el plano es paralelo al eje $y$ .

Ejemplo

En nuestra función de ejemplo, si queremos saber la pendiente en la dirección $y$ en el punto $(0, 1)$ obtenemos

$\frac{δ f}{δ y} = 2 x - 1$ $\frac{δ f (0, 1)}{δ y} = - 1$

con lo que la inclinación de la superfície en este punto y en la dirección ya comentada es descendiente.

En definitiva, que cuando calculamos las derivadas parciales $\frac{δ f}{δ x}$ y $\frac{δ f}{δ y}$ en el punto $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ el valor que obtenemos es la pendiente de la superficie en la dirección del eje $x$ o del eje $y$ , respectivamente.

Definición formal de derivada parcial

La definición formal de derivada parcial sigue siendo el cálculo de un límite, como la derivada de una función de una variable.

Sea $U$ un subconjunto abierto de $R^{n}$ y una función $f : U \to R$ . Definimos la derivada parcial de $f$ en el punto $p \in U$ , $p = p_{1}, . . ., p_{n}$ , respecto la variable $x_{i}$ como

$\frac{δ f (p)}{δ x_{i}} = lim_{h \to 0} \frac{f (p_{1}, . . ., p_{i - 1}, p_{i} + h, p_{i + 1}, . . ., p_{n}) - f (p_{1}, . . ., p_{n})}{h}$

Ejemplos de cálculo de derivadas parciales

Para una buena realización hay que tener en mente dos cosas: las reglas de derivación en una variable y saber imaginarnos las variables que correspondan en cada caso como constantes. Verás como es cuestión de práctica.

Ejemplo

Dada la función $f (x, y) = \sqrt{x^{3} + y^{2}}$ calcula $f_{x} (1, 1)$ .

Reescribo $f (x, y) = (x^{3} + y^{2})^{\frac{1}{2}}$ como lo hacíamos para derivar raíces cuando había solamente una variable. Ahora pensamos en $y$ como una constante y derivamos usando las reglas habituales

$f_{x} = \frac{1}{2} (x^{3} + y^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 x^{2} = \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + y^{2}}}$

Para saber la pendiente en el punto $(1, 1)$ sustituimos

$f_{x} (1, 1) = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Ejemplo

Dada la función $f (x, y) = \frac{2 x y - y}{x^{2} + y}$ calcula la derivada parcial respecto $x$ e $y$ .

$\frac{δ f}{δ x} = \frac{2 y (x^{2} + y) - (2 x y - y) 2 x}{(x^{2} + y)^{2}} = \frac{2 y x^{2} + 2 y^{2} - 4 x^{2} y + 2 x y}{(x^{2} + y)^{2}} = \frac{- 2 x^{2} y + 2 x y + 2 y^{2}}{(x^{2} + y)^{2}} = \frac{2 (- x^{2} y + x y + y^{2})}{(x^{2} + y)^{2}}$

$\frac{δ f}{δ y} = \frac{(2 x - 1) (x^{2} + y) - (2 x y - y)}{(x^{2} + y)^{2}} = \frac{2 x^{3} + 2 x y - x^{2} - y - 2 x y + y}{(x^{2} + y)^{2}} = \frac{2 x^{3} - x^{2}}{(x^{2} + y)^{2}}$

Ejemplo

Dada la función $f (x, y, z) = x^{2} y^{3} - 2 x y z^{3}$ calcula la pendiente de la recta tangente al punto $(1, - 1, 1)$ en las direcciones de los ejes $x$ , $y$ e $z$ .

$\frac{δ f}{δ x} = 2 x y^{3} - 2 y z^{3}$ $\frac{δ f (1, - 1, 1)}{δ x} = 2 \cdot 1 \cdot (- 1)^{3} - 2 \cdot (- 1) \cdot 1^{3} = 0$

$\frac{δ f}{δ y} = 3 x^{2} y^{2} - 2 x z^{3}$ $\frac{δ f (1, - 1, 1)}{δ y} = 3 - 2 = 1$

$\frac{δ f}{δ z} = - 6 x y z^{2}$ $\frac{δ f (1, - 1, 1)}{δ z} = 6$

Ejemplo

Dada la función $f (x, y, z) = \frac{2 z}{y + \sin (x)}$ calcula las derivadas parciales respecto $x$ , $y$ e $z$ .

$\frac{δ f}{δ x} = \frac{- 2 z \cos (x)}{(y + \sin (x))^{2}}$

$\frac{δ f}{δ y} = \frac{- 2 z}{(y + \sin (x))^{2}}$

$\frac{δ f}{δ z} = \frac{2 (y + \sin (x)) - 2 z \cdot 0}{(y + \sin (x))^{2}} = \frac{2 (y + \sin (x))}{(y + \sin (x))^{2}} = \frac{2}{y + \sin (x)}$

Más aplicaciones de la derivada parcial

Llegados a este punto a lo mejor has pensado en otra información que podrían proporcionar las derivadas parciales. Y es que también podemos interpretar que la derivada parcial mide la rapidez de cambio de la variable que derivamos respecto a la variable que dejamos fija. Así podemos medir como cambia $y$ cuando dejamos $x$ fija y al revés. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Imaginemos una placa solar rectangular tal que en zonas distintas absorbe cantidades diferentes de luz solar y por lo tanto cada celda produce una cantidad distinta de energía. Tenemos una relación tal que en un punto $(x, y)$ de la placa la potencia de energía generada la podemos deducir con la relación $E (x, y) = \frac{3}{10} x y + y$

imagen

Las unidades de $x$ e $y$ son centímetros y la potencia de energía $E$ en Watts. ¿Cómo varía la potencia energética $E$ en el centro de la placa, $(65, 120)$ , cuando $x$ permanece fija en los $65$ cm?

Para saberlo tenemos que calcular $E_{y} (65, 120)$ . $E_{y} = \frac{3}{10} x + 1 \Rightarrow E_{y} (65, 120) = 20, 5$

Así sabemos que situados sobre el punto $x = 65$ , $y = 120$ la potencia energética aumenta a medida que avanzamos en la dirección del eje $y$ ya que la derivada parcial en esta dirección es positiva. Además la potencia energética generada aumentará con una rapidez de $20, 5$ W.