Interpretación física de la derivada

El mundo de la física nos da una buena herramienta para la comprensión de las derivadas.

Tasa de Variación Media = Velocidad Media

Un conductor recorre los $20$ km que separan su casa de su oficina en $10$ minutos. ¿Cual es la velocidad media?

Igual que la $T V M$ , la velocidad media se define como el incremento de distancia $Δ d$ (o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo $Δ t$ empleado en recorrerla. $v_{m} = \frac{Δ d}{Δ t} = \frac{20 km}{10 min} = 120 km/h$

Derivada en un punto = Velocidad instantánea

El conductor no va estrictamente a $120$ km/h durante todo el trayecto, sino que su velocidad irá variando (no sale del parking de su casa a $120$ km/h !).

La velocidad instantánea es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que el intervalo de tiempo transcurrido sea prácticamente cero y miramos cual seria la distancia recorrida. $v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ d}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{f (a + Δ t) - f (a)}{Δ t}$ La función velocidad es la función derivada de la función posición (o espacio).

Ejemplo

La distancia que recorre una persona en función del tiempo transcurrido es: $d (t) = t^{2} - t + 2$

Calcular la velocidad media en los primeros $5$ segundos de movimiento.

El enunciado nos da $Δ t = 5 s$ . Calculamos la distancia recorrida: $Δ d = d (t = 5) - d (t = 0) = 22 - 2 metros$ Por lo tanto, $v_{m} = \frac{20 m}{5 s} = 4 m/s$

Calcular ahora la velocidad instantánea después de $t = 2 s$ de recorrido.

La velocidad instantánea a los dos segundos de recorrido es la derivada de la distancia en el punto $t = 2$ .

Calculamos la derivada (podemos recurrir a la definición o saber algo más sobre cálculo de derivadas) y obtenemos: $d^{'} (t) = 2 t - 1 \Rightarrow d^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 m/s$