Interpretació física de la derivada

El món de la física ens dóna una bona eina per a la comprensió de les derivades.

Taxa de Variació Mitjana = Velocitat Mitjana

Un conductor recorre els $20$ km que separen la seva casa de la seva oficina a $10$ minuts. Quina és la velocitat mitjana?

Igual que la $T V M$ , la velocitat mitjana es defineix com l' increment de distància $Δ d$ (és a dir, la distància recorreguda) dividit per l' increment de temps $Δ t$ emprat en recórrer-la. $v_{m} = \frac{Δ d}{Δ t} = \frac{20 km}{10 min} = 120 km/h$

Derivada en un punt = Velocitat instantània

El conductor no va estrictament a $120$ km/h durant tot el trajecte, sinó que la seva velocitat anirà variant (no surt del pàrquing de casa seva a $120$ km/h !).

La velocitat instantània és la velocitat en un instant precís. Dit d'una altra manera, fem que l' interval de temps transcorregut sigui pràcticament zero i mirem quina seria la distància recorreguda. $v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ d}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{f (a + Δ t) - f (a)}{Δ t}$ La funció velocitat és la funció derivada de la funció posició (o espai).

Exemple

La distància que recorre una persona en funció del temps transcorregut és: $d (t) = t^{2} - t + 2$

Calculeu la velocitat mitjana en els primers $5$ segons de moviment.

L'enunciat ens dóna $Δ t = 5 s$ . Calculem la distància recorreguda: $Δ d = d (t = 5) - d (t = 0) = 22 - 2 metres$ Per tant, $v_{m} = \frac{20 m}{5 s} = 4 m/s$

Calculeu ara la velocitat instantània després de $t = 2 s$ de recorregut.

La velocitat instantània als dos segons de recorregut és la derivada de la distància al punt $t = 2$ .

Calculem la derivada (podem recórrer a la definició o saber alguna cosa més sobre càlcul de derivades) i obtenim: $d^{'} (t) = 2 t - 1 \Rightarrow d^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 m/s$