Función derivada

Cuando uno quiere tener información de la derivada en todos los puntos a la vez, uno no puede calcular la derivada punto a punto, pues los hay infinitos. Se debe recurrir entonces a la función derivada.

La función derivada asigna a cada punto $x$ el valor de la derivada en ese punto. Se define como sigue: $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

$f (x) = x^{2}$

$f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{2} - x^{2}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x^{2} + 2 x Δ x}{Δ x} =$ $= lim_{Δ x \to 0} Δ x + 2 x = 2 x$ Por lo tanto, $f^{'} (x) = 2 x$ .

Ejemplo

Sea $f (x) = x (3 x - 1)$ se calcula la derivada como sigue: $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) (3 (x + Δ x) - 1) - x (3 x - 1)}{Δ x} =$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{3 (x + Δ x)^{2} - (x + Δ x) - 3 x^{2} + x}{Δ x} =$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{3 (x^{2} + 2 x Δ x + Δ x^{2}) - 3 x^{2} - Δ x}{Δ x} =$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{6 x Δ x + 3 Δ x^{2} - Δ x}{Δ x} = 6 x - 1$