Taxa de variació mitjana

Sigui la funció $y=x^2$

Aquesta funció cobreix tota la recta real, ja que a cada valor de $x$ s'associa un valor de $y$ diferent. Un pot, doncs, definir un interval qualsevol en aquesta funció.

Podem triar, per exemple, l'interval tancat $[1,4]$. En aquest interval, $x$ va creixent des d'un valor inicial, $1$, fins a un valor final, $4$. El seu increment total, que anomenem $\mathrm{\Delta }x$, serà doncs $\mathrm{\Delta }x=4-1=3$.

Si un roman en aquest interval sembla interessant estudiar el valor de $y$ . En un primer moment, $y=x^2=1^2=1$, mentre que al final de l'interval $y=x^2=4^2=16$. En aquest cas, doncs, l'increment total no és $3$, sinó $\mathrm{\Delta }y=4^2-1^2=15$.

Es defineix taxa de variació mitjana al quocient:$${\displaystyle TVM=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$$

En l'exemple previ $TVM=5$.

Evidentment el concepte es generalitza per a una funció qualsevol $y=f(x)$, i un interval qualsevol $[a,a+\mathrm{\Delta }x]$. La definició de taxa de variació mitjana és, doncs $${\displaystyle TVM=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}$$ En molts llibres de text se sol anomenar també $h$ al valor de $\mathrm{\Delta }x$.