Ejercicios de Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Desarrollo:

Ésta es una EDO lineal, puesto que dividiendo la ecuación por $x$ (notemos que $x$ no puede ser cero, ya que no se cumpliría la igualdad).

Por tanto, reescribimos la EDO: $$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2}{x}}\cdot y+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=a(x)\cdot y+b(x)$$ que es una EDO lineal.

EDO Homogénea:

Buscamos una solución de la EDO homogénea: $y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{2}{x}}\cdot y$ que se trata de una EDO separable que sabemos resolver: $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{2}{x}}\cdot y\Rightarrow {\displaystyle \frac{dy}{y}}=-{\displaystyle \frac{2}{x}}dx\Rightarrow \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=-\int {\displaystyle \frac{2}{x}}dx\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \ln |y|=\ln |x^{-2}|+C\Rightarrow y(x)={\displaystyle \frac{k}{x^2}},k\in \mathbb{R}$$

EDO no homogénea:

Buscamos solución particular del tipo $y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$ donde $y_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Sabemos que la función $u(x)$ es solución de $$u^{\prime }={\displaystyle \frac{b(x)}{y_1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}=1$$ por lo tanto $u(x)=x$.

Así pues, una solución particular es: $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)=x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$$ Finalmente, la solución será la suma de la las soluciones encontradas: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)={\displaystyle \frac{k}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}},k\in \mathbb{R}$$

Solución:

$y(x)={\displaystyle \frac{k}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}},k\in \mathbb{R}$

Ocultar desarrollo y solución