Una EDO lineal es una EDO de la forma: $$$y'=a(x) \cdot y+b(x)$$$ donde $$a(x)$$ y $$b(x)$$ son funciones continuas.
Una EDO lineal sería: $$$y'=5x^2\cdot y+2x^2$$$ aunque, a veces, encontraremos una EDO lineal después de hacer alguna transformación. Por ejemplo, podrían habernos dado la EDO de la siguiente forma: $$$\displaystyle \frac {y'}{5x^2}=y+\frac{2}{5}$$$
y tendríamos que reescribirla (multiplicando por $$x^2$$) para conseguir la forma anterior.
En el caso particular en que $$b(x)=0$$, diremos que la ecuación es homogénea.
La resolución de este tipo de ecuaciones se divide en dos pasos.
- Resolver la parte homogénea.
Resolvemos la ecuación: $$y'_h=a(x)\cdot y_h$$. e trata de una EDO separable, y que, por lo tanto, sabemos resolver. Esa solución es: $$$y_h(x)=k\cdot e^{\int a(x) \ dx}$$$
En nuestro ejemplo, tenemos: $$$\displaystyle y'_h=5x^2y_h \Rightarrow y_h(x)=k\cdot e^{\int 5x^2 \ dx}=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}$$$
- Encontrar una solución particular de la EDO no homogénea.
Para ello vamos a utilizar el método de variación de constantes. Llamando $$y_1(x)=e^{\int a(x) dx}$$ Buscamos una solución particular del tipo $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$.
Impongamos que sea solución: $$$\displaystyle \left.\begin{matrix} y'_p=u' \cdot y_1+u \cdot y'_1=u'\cdot y_1+u\cdot a(x) \cdot y_1 \\ y'_p=a(x) \cdot y_p+b(x)=a(x)\cdot u\cdot y_1+b(x) \end{matrix}\right\} \Rightarrow u'=\frac{b(x)}{y_1}$$$
Resolvemos esta última ecuación (basta integrar a ambos lados) y ya tenemos una solución particular.
Siguiendo con el ejemplo tomamos $$$\displaystyle y_1(x)=e^{\frac{5}{3}x^3}$$$ Entonces buscamos una solución particular de la forma $$y_p(x)=u(x)\cdot y_1(x)$$. Hemos visto que $$u(x)$$ tiene la siguiente derivada $$$\displaystyle u'=\frac{b(x)}{y_1(x)}=\frac{2x^2}{e^{\frac{5}{3}x^3}}=2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}$$$
y, integrando, se obtiene: $$$\displaystyle u(x)=\int 2x^2\cdot e^{-\frac{5}{3}x^3} \cdot dx = -\frac{2}{5} e^{-\frac{5}{3}x^3}$$$
De esta forma, $$$y_p(x)=-\frac{2}{5} \cdot e^{-\frac{5}{3}x^3}\cdot e^{\frac{5}{3}x^3}=-\frac{2}{5} $$$
Finalmente la solución de la ecuación lineal es $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$.
Remarquemos que la constante aparece en la solución homogénea (no tiene sentido poner constantes de integración en la particular).
Por lo tanto, en nuestro ejemplo, la solución de la EDO es: $$$y(x)=k \cdot e^{\frac{5}{3}x^3}-\frac{2}{5}$$$