Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Una EDO lineal es una EDO de la forma: $y^{'} = a (x) \cdot y + b (x)$ donde $a (x)$ y $b (x)$ son funciones continuas.

Ejemplo

Una EDO lineal sería: $y^{'} = 5 x^{2} \cdot y + 2 x^{2}$ aunque, a veces, encontraremos una EDO lineal después de hacer alguna transformación. Por ejemplo, podrían habernos dado la EDO de la siguiente forma: $\frac{y^{'}}{5 x^{2}} = y + \frac{2}{5}$

y tendríamos que reescribirla (multiplicando por $x^{2}$ ) para conseguir la forma anterior.

En el caso particular en que $b (x) = 0$ , diremos que la ecuación es homogénea.

La resolución de este tipo de ecuaciones se divide en dos pasos.

Resolver la parte homogénea.

Resolvemos la ecuación: $y_{h}^{'} = a (x) \cdot y_{h}$ . e trata de una EDO separable, y que, por lo tanto, sabemos resolver. Esa solución es: $y_{h} (x) = k \cdot e^{\int a (x) d x}$

Ejemplo

En nuestro ejemplo, tenemos: $y_{h}^{'} = 5 x^{2} y_{h} \Rightarrow y_{h} (x) = k \cdot e^{\int 5 x^{2} d x} = k \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}}$

Encontrar una solución particular de la EDO no homogénea.

Para ello vamos a utilizar el método de variación de constantes. Llamando $y_{1} (x) = e^{\int a (x) d x}$ Buscamos una solución particular del tipo $y_{p} (x) = u (x) \cdot y_{1} (x)$ .

Impongamos que sea solución: $\begin{matrix} y_{p}^{'} = u^{'} \cdot y_{1} + u \cdot y_{1}^{'} = u^{'} \cdot y_{1} + u \cdot a (x) \cdot y_{1} \\ y_{p}^{'} = a (x) \cdot y_{p} + b (x) = a (x) \cdot u \cdot y_{1} + b (x) \end{matrix}} \Rightarrow u^{'} = \frac{b (x)}{y_{1}}$

Resolvemos esta última ecuación (basta integrar a ambos lados) y ya tenemos una solución particular.

Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo tomamos $y_{1} (x) = e^{\frac{5}{3} x^{3}}$ Entonces buscamos una solución particular de la forma $y_{p} (x) = u (x) \cdot y_{1} (x)$ . Hemos visto que $u (x)$ tiene la siguiente derivada $u^{'} = \frac{b (x)}{y_{1} (x)} = \frac{2 x^{2}}{e^{\frac{5}{3} x^{3}}} = 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}}$

y, integrando, se obtiene: $u (x) = \int 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}} \cdot d x = - \frac{2}{5} e^{- \frac{5}{3} x^{3}}$

De esta forma, $y_{p} (x) = - \frac{2}{5} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}} \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}} = - \frac{2}{5}$

Finalmente la solución de la ecuación lineal es $y (x) = y_{h} (x) + y_{p} (x)$ .

Remarquemos que la constante aparece en la solución homogénea (no tiene sentido poner constantes de integración en la particular).

Por lo tanto, en nuestro ejemplo, la solución de la EDO es: $y (x) = k \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}} - \frac{2}{5}$