Consideremos una EDO de primer orden,$$y'=f(x,y)$$ con $$y$$. Diremos que la EDO es separable si podemos conseguir reescribirla como $$h(y) \cdot y'=g(x)$$, es decir si podemos pasar todo lo que depende de $$y$$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $$x$$ al otro.
Una EDO separable sería $$y'=2xy$$, puesto que podemos poner todo lo que depende de la varible $$y$$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $$x$$ al otro dividiendo por $$y$$: $$$\displaystyle y'=2xy \Longrightarrow \frac{1}{y}y'=2x$$$ En nuestro caso, pues $$$\displaystyle h(y)=\frac{1}{y}, \ g(x)=2x$$$
Entonces integramos a los dos lados de la igualdad y obtenemos la solución: $$$\displaystyle h(y) \cdot y'=g(x) \Longrightarrow h(y)\cdot \frac{dy}{dx}=g(x) \Longrightarrow h(y)dy=g(x)dx \Longrightarrow$$$ $$$\int h(y) dy=\int g(x)dx+C$$$ Notemos que tenemos que añadir una constante aditiva, puesto que al integrar siempre nos sale una. Ahora intentamos aislar $$y$$ en función de $$x$$ y obtenemos la solución.
Continuando con el caso mostrado anteriormente: $$$\displaystyle \frac{1}{y}y'=2x \Rightarrow \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=2x \Rightarrow \frac{dy}{y}=2x \cdot dx \Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int 2x \cdot dx+C \Rightarrow \\ \Rightarrow \ln |y|=x^2+C \Rightarrow |y|= e^{x^2+C}=e^{x^2} \cdot e^C=K\cdot e^{x^2}, \ k>0 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow y(x)=k \cdot e^{x^2}, \ k > 0$$$
Un concepto que es importante destacar es que, a veces, al separar las variables, podemos perder soluciones por el camino. Para conseguir tener la $$y$$ a un lado estamos suponiendo que $$y \neq 0$$. Ahora bien, si nos fijamos en la EDO nos damos cuenta que $$y=0$$ es también una solución en la que $$k$$ vale zero.
Como ya hemos dicho, a veces, tendremos que resolver un PVI. En el ejemplo hemos encontrado todas la soluciones de la EDO. Para encontrar la solución que verifica un PVI basta imponer las condiciones iniciales y encontar la constante concreta que hace que se cumpla la condición.
Consideramos el PVI: $$$\left\{\begin{matrix} y'=2xy \\ y(0)=1 \end{matrix}\right.$$$ Por el desarrolo anterior sabemos que las soluciones son: $$y(x)=k\cdot e^{x^2} k \in \mathbb{R}$$.
Busquemos, pues, el valor de $$k$$ de manera que se cumpla $$y(0)=1$$: $$$y(0)=1 \Rightarrow 1= y(0)=k\cdot e^0 \Rightarrow k=1$$$ Por lo tanto, la solución de nuestro PVI es: $$y(x)=e^{x^2}$$.
Vamos a considerar unos cuantos ejemplos:
Resolver la EDO: $$$y'=4xe^-y$$$ Se trata de una EDO separable ya que podemos poner todo lo que depende de $$x$$ a un lado y todo lo que depende de $$y$$ al otro.
En efecto: $$$y'\cdot e^y=4x $$$ Ahora procedemos como hemos descrito: $$$\displaystyle y'=\cdot e^y=4x \Rightarrow \frac{dy}{dx}e^y=4x \Rightarrow e^y\cdot dy= 4x \cdot dx \Rightarrow \int e^y \cdot dy= \int 4x \cdot dx \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow e^y=2x^2+C \Rightarrow y(x)= \ln\Big(2x^2+C\Big)$$$ donde $$C$$ es la constante que se determinaría en caso de que tengamos condiciones iniciales.
Resolver la EDO: $$$2x+5=y' \cdot \sin y$$$ Observamos que, en este caso, la ecuación ya tiene las variables separadas.
Así que procedimos a hacer las integrales: $$$2x+5 = y'\sin y \Rightarrow 2x+5= \sin y \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \int (2x+5) \ dx = \int \sin y \ dy \Rightarrow$$$ $$$ \Rightarrow x^2+5x+C= -\cos y \Rightarrow y(x)=\arccos (-x^2-5x-C) $$$
Resolver la EDO: $$$y'=x \cdot (y^2+1)$$$ Se trata, otra vez, de una EDO separable, basta dividir los términos por $$y^2+1$$. Así pues su solución se obtiene de la siguiente manera:
$$$\displaystyle \frac{y'}{y^2+1}=x \Rightarrow \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y^2+1}=x \Rightarrow \frac{dy}{y^2+1}=x \cdot dx \Rightarrow \int \frac{dy}{y^2+1}=\int x \cdot dx \Rightarrow $$$ $$$ \Rightarrow \arctan y=x+C \Rightarrow y(x)=\tan (x+C)$$$