Ecuaciones diferenciales ordinarias separables

Consideremos una EDO de primer orden, $y^{'} = f (x, y)$ con $y$ . Diremos que la EDO es separable si podemos conseguir reescribirla como $h (y) \cdot y^{'} = g (x)$ , es decir si podemos pasar todo lo que depende de $y$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $x$ al otro.

Ejemplo

Una EDO separable sería $y^{'} = 2 x y$ , puesto que podemos poner todo lo que depende de la varible $y$ a un lado de la igualdad y todo lo que depende de $x$ al otro dividiendo por $y$ : $y^{'} = 2 x y ⟹ \frac{1}{y} y^{'} = 2 x$ En nuestro caso, pues $h (y) = \frac{1}{y}, g (x) = 2 x$

Entonces integramos a los dos lados de la igualdad y obtenemos la solución: $h (y) \cdot y^{'} = g (x) ⟹ h (y) \cdot \frac{d y}{d x} = g (x) ⟹ h (y) d y = g (x) d x ⟹$ $\int h (y) d y = \int g (x) d x + C$ Notemos que tenemos que añadir una constante aditiva, puesto que al integrar siempre nos sale una. Ahora intentamos aislar $y$ en función de $x$ y obtenemos la solución.

Ejemplo

Continuando con el caso mostrado anteriormente: $\frac{1}{y} y^{'} = 2 x \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x \Rightarrow \frac{d y}{y} = 2 x \cdot d x \Rightarrow \int \frac{d y}{y} = \int 2 x \cdot d x + C \Rightarrow \Rightarrow \ln | y | = x^{2} + C \Rightarrow | y | = e^{x^{2} + C} = e^{x^{2}} \cdot e^{C} = K \cdot e^{x^{2}}, k > 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow y (x) = k \cdot e^{x^{2}}, k > 0$

Un concepto que es importante destacar es que, a veces, al separar las variables, podemos perder soluciones por el camino. Para conseguir tener la $y$ a un lado estamos suponiendo que $y \neq 0$ . Ahora bien, si nos fijamos en la EDO nos damos cuenta que $y = 0$ es también una solución en la que $k$ vale zero.

Como ya hemos dicho, a veces, tendremos que resolver un PVI. En el ejemplo hemos encontrado todas la soluciones de la EDO. Para encontrar la solución que verifica un PVI basta imponer las condiciones iniciales y encontar la constante concreta que hace que se cumpla la condición.

Ejemplo

Consideramos el PVI: ${\begin{matrix} y^{'} = 2 x y \\ y (0) = 1 \end{matrix}$ Por el desarrolo anterior sabemos que las soluciones son: $y (x) = k \cdot e^{x^{2}} k \in R$ .

Busquemos, pues, el valor de $k$ de manera que se cumpla $y (0) = 1$ : $y (0) = 1 \Rightarrow 1 = y (0) = k \cdot e^{0} \Rightarrow k = 1$ Por lo tanto, la solución de nuestro PVI es: $y (x) = e^{x^{2}}$ .

Vamos a considerar unos cuantos ejemplos:

Ejemplo

Resolver la EDO: $y^{'} = 4 x e^{-} y$ Se trata de una EDO separable ya que podemos poner todo lo que depende de $x$ a un lado y todo lo que depende de $y$ al otro.

En efecto: $y^{'} \cdot e^{y} = 4 x$ Ahora procedemos como hemos descrito: $y^{'} = \cdot e^{y} = 4 x \Rightarrow \frac{d y}{d x} e^{y} = 4 x \Rightarrow e^{y} \cdot d y = 4 x \cdot d x \Rightarrow \int e^{y} \cdot d y = \int 4 x \cdot d x \Rightarrow$ $\Rightarrow e^{y} = 2 x^{2} + C \Rightarrow y (x) = \ln (2 x^{2} + C)$ donde $C$ es la constante que se determinaría en caso de que tengamos condiciones iniciales.

Ejemplo

Resolver la EDO: $2 x + 5 = y^{'} \cdot \sin y$ Observamos que, en este caso, la ecuación ya tiene las variables separadas.

Así que procedimos a hacer las integrales: $2 x + 5 = y^{'} \sin y \Rightarrow 2 x + 5 = \sin y \cdot \frac{d y}{d x} \Rightarrow \int (2 x + 5) d x = \int \sin y d y \Rightarrow$ $\Rightarrow x^{2} + 5 x + C = - \cos y \Rightarrow y (x) = \arccos (- x^{2} - 5 x - C)$

Ejemplo

Resolver la EDO: $y^{'} = x \cdot (y^{2} + 1)$ Se trata, otra vez, de una EDO separable, basta dividir los términos por $y^{2} + 1$ . Así pues su solución se obtiene de la siguiente manera:

$\frac{y^{'}}{y^{2} + 1} = x \Rightarrow \frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1} = x \Rightarrow \frac{d y}{y^{2} + 1} = x \cdot d x \Rightarrow \int \frac{d y}{y^{2} + 1} = \int x \cdot d x \Rightarrow$ $\Rightarrow \arctan y = x + C \Rightarrow y (x) = \tan (x + C)$