Ejercicios de Ecuaciones diferenciales ordinarias separables

Desarrollo:

Se trata de una EDO separable, ya que podemos conseguir separar las $$x$$'s de las $$y$$'s a cada miembro de la ecuación: $$$2y\cdot y'=-x^2$$$ Ahora transformamos $$y'=\dfrac{dy}{dx}$$

Y procedemos como hemos explicado: $$$2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=-x^2 \Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx \Rightarrow \int 2y\cdot dy= \int -x^2\cdot dx \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow y^2=-\dfrac{x^3}{3}+C$$$ Ahora, ya hemos conseguido que no aparezcan derivadas en la expresión. Sólo nos falta despejar $$y$$ en función de $$x$$: $$$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$$ Observamos que no hemos obtenido una única solución. Esto es porque $$f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2y}$$ que no es continua en $$y=0$$.

Solución:

$$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

Para que se trate de una EDO separable, tenemos que pasar dividiendo $$y$$, pero $$y$$ puede valer cero. Por lo tanto, tenemos que distinguir dos casos:

Caso 1: Si $$y\neq0$$ se trata de una EDO separable y podemos pasar dividiendo la $$y$$: $$$y'=y\cdot\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{y'}{y}=\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\sin(x) \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=\sin(x)\cdot dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=\int \sin(x)\cdot dx \Rightarrow$$$ $$$\ln|y(x)|=-\cos(x)+C \Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos(x)+C}=e^{-\cos(x)}\cdot e^{C}=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k > 0 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\neq0$$$ donde $$k$$ es una constante a determinar con las condiciones iniciales.

Caso 2: Si $$y=0$$, idénticamente. Vemos que trivialmente es solución. Por lo tanto también la tenemos que considerar. Basta permitir que la constante que nos ha salido pueda tomar el valor $$0$$.

De esta manera la solución general es: $$$y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\in\mathbb{R}$$$ Ahora imponemos las condiciones iniciales para determinar $$k$$: $$$y(\pi)=-3 \Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos(\pi)}=k\cdot e \Rightarrow k=-\dfrac{3}{e}$$$

Solución:

$$y(x)=-3\cdot e^{-(cos(x)+1)}$$

Ocultar desarrollo y solución