Ejercicios de Ecuaciones diferenciales ordinarias separables

Desarrollo:

Se trata de una EDO separable, ya que podemos conseguir separar las $x$'s de las $y$'s a cada miembro de la ecuación: $$2y\cdot y^{\prime }=-x^2$$ Ahora transformamos $y^{\prime }={\displaystyle \frac{dy}{dx}}$

Y procedemos como hemos explicado: $$2y\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-x^2\Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx\Rightarrow \int 2y\cdot dy=\int -x^2\cdot dx\Rightarrow$$ $$\Rightarrow y^2=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C$$ Ahora, ya hemos conseguido que no aparezcan derivadas en la expresión. Sólo nos falta despejar $y$ en función de $x$: $$y(x)=\pm \sqrt{C-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}},C\in \mathbb{R}$$ Observamos que no hemos obtenido una única solución. Esto es porque $f(x,y)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2y}}$ que no es continua en $y=0$.

Solución:

$y(x)=\pm \sqrt{C-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}},C\in \mathbb{R}$

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Desarrollo:

Para que se trate de una EDO separable, tenemos que pasar dividiendo $y$, pero $y$ puede valer cero. Por lo tanto, tenemos que distinguir dos casos:

Caso 1: Si $y\ne 0$ se trata de una EDO separable y podemos pasar dividiendo la $y$: $$y^{\prime }=y\cdot \sin (x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}=\sin (x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\sin (x)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\sin (x)\cdot dx\Rightarrow \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int \sin (x)\cdot dx\Rightarrow$$ $$\ln |y(x)|=-\cos (x)+C\Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos (x)+C}=e^{-\cos (x)}\cdot e^C=k\cdot e^{-\cos (x)},k>0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos (x)},k\ne 0$$ donde $k$ es una constante a determinar con las condiciones iniciales.

Caso 2: Si $y=0$, idénticamente. Vemos que trivialmente es solución. Por lo tanto también la tenemos que considerar. Basta permitir que la constante que nos ha salido pueda tomar el valor $0$.

De esta manera la solución general es: $$y(x)=k\cdot e^{-\cos (x)},k\in \mathbb{R}$$ Ahora imponemos las condiciones iniciales para determinar $k$: $$y(\pi )=-3\Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos (\pi )}=k\cdot e\Rightarrow k=-{\displaystyle \frac{3}{e}}$$

Solución:

$y(x)=-3\cdot e^{-(cos(x)+1)}$

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