Exercicis de Equacions diferencials ordinàries separables

Desenvolupament:

Es tracta d'una EDO separable, ja que podem aconseguir separar les $x$'s de les $y$'s a cada membre de l'equació: $$2y\cdot y^{\prime }=-x^2$$ Ara transformem $y^{\prime }={\displaystyle \frac{dy}{dx}}$

I procedim com hem explicat: $$2y\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-x^2\Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx\Rightarrow \int 2y\cdot dy=\int -x^2\cdot dx\Rightarrow$$ $$\Rightarrow y^2=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C$$ Ara, ja hem aconseguit que no apareguin derivades en l'expressió. Només ens falta aïllar $y$ en funció de $x$: $$y(x)=\pm \sqrt{C-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}},C\in \mathbb{R}$$ Observem que no hem obtingut una única solució. Això és perquè $f(x,y)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2y}}$ que no és contínua en $y=0$.

Solució:

$y(x)=\pm \sqrt{C-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}},C\in \mathbb{R}$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Perquè es tracti d'una EDO separable, hem de passar dividint $y$, però $y$ pot valdre zero. Per tant, hem de distingir dos casos:

Cas 1: Si $y\ne 0$ es tracta d'una EDO separable i podem passar dividint la $y$: $$y^{\prime }=y\cdot \sin (x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}=\sin (x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{y}}\cdot {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\sin (x)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\sin (x)\cdot dx\Rightarrow \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int \sin (x)\cdot dx\Rightarrow$$ $$\ln |y(x)|=-\cos (x)+C\Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos (x)+C}=e^{-\cos (x)}\cdot e^C=k\cdot e^{-\cos (x)},k>0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos (x)},k\ne 0$$ on $k$ és una constant a determinar amb les condicions inicials.

Cas 2: Si $y=0$, idènticament. Veiem que trivialment és solució. Per tant també l'hem de considerar. Només cal permetre que la constant que ens ha sortit pugui prendre el valor $0$.

D'aquesta manera la solució general és: $$y(x)=k\cdot e^{-\cos (x)},k\in \mathbb{R}$$ Ara imposem les condicions inicials per determinar $k$: $$y(\pi )=-3\Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos (\pi )}=k\cdot e\Rightarrow k=-{\displaystyle \frac{3}{e}}$$

Solució:

$y(x)=-3\cdot e^{-(cos(x)+1)}$

Amagar desenvolupament i solució