Exercicis de Equacions diferencials ordinàries separables

Desenvolupament:

Es tracta d'una EDO separable, ja que podem aconseguir separar les $$x$$'s de les $$y$$'s a cada membre de l'equació: $$$2y\cdot y'=-x^2$$$ Ara transformem $$y'=\dfrac{dy}{dx}$$

I procedim com hem explicat: $$$2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=-x^2 \Rightarrow 2y\cdot dy=-x^2\cdot dx \Rightarrow \int 2y\cdot dy= \int -x^2\cdot dx \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow y^2=-\dfrac{x^3}{3}+C$$$ Ara, ja hem aconseguit que no apareguin derivades en l'expressió. Només ens falta aïllar $$y$$ en funció de $$x$$: $$$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$$ Observem que no hem obtingut una única solució. Això és perquè $$f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2y}$$ que no és contínua en $$y=0$$.

Solució:

$$y(x)=\pm\sqrt{C-\dfrac{x^3}{3}}, \ C\in\mathbb{R}$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Perquè es tracti d'una EDO separable, hem de passar dividint $$y$$, però $$y$$ pot valdre zero. Per tant, hem de distingir dos casos:

Cas 1: Si $$y\neq0$$ es tracta d'una EDO separable i podem passar dividint la $$y$$: $$$y'=y\cdot\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{y'}{y}=\sin(x) \Rightarrow \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\sin(x) \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=\sin(x)\cdot dx \Rightarrow \int \dfrac{dy}{y}=\int \sin(x)\cdot dx \Rightarrow$$$ $$$\ln|y(x)|=-\cos(x)+C \Rightarrow |y(x)|=e^{-\cos(x)+C}=e^{-\cos(x)}\cdot e^{C}=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k > 0 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\neq0$$$ on $$k$$ és una constant a determinar amb les condicions inicials.

Cas 2: Si $$y=0$$, idènticament. Veiem que trivialment és solució. Per tant també l'hem de considerar. Només cal permetre que la constant que ens ha sortit pugui prendre el valor $$0$$.

D'aquesta manera la solució general és: $$$y(x)=k\cdot e^{-\cos(x)}, \ k\in\mathbb{R}$$$ Ara imposem les condicions inicials per determinar $$k$$: $$$y(\pi)=-3 \Rightarrow -3=k\cdot e^{-\cos(\pi)}=k\cdot e \Rightarrow k=-\dfrac{3}{e}$$$

Solució:

$$y(x)=-3\cdot e^{-(cos(x)+1)}$$

Amagar desenvolupament i solució