Equacions diferencials ordinàries separables

Considerem una EDO de primer ordre, $y^{'} = f (x, y)$ amb $y = y (x)$ . Direm que la EDO és separable si podem aconseguir reescriure-la com $h (y) \cdot y^{'} = g (x)$ , és a dir si podem passar tot el que depèn de $y$ a un costat de la igualtat i tot el que depèn de $x$ a l'altre.

Exemple

Un exemple d'EDO separable seria $y^{'} = 2 x y$ , ja que podem posar tot el que depèn de la variable $y$ a un costat de la igualtat i tot el que depèn de $x$ a l'altre dividint tota l'equació per $y$ : $y^{'} = 2 x y ⟹ \frac{1}{y} y^{'} = 2 x$ En el nostre cas, doncs $h (y) = \frac{1}{y}, g (x) = 2 x$

Llavors integrem als dos costats de la igualtat i obtenim la solució: $h (y) \cdot y^{'} = g (x) ⟹ h (y) \cdot \frac{d y}{d x} = g (x) ⟹ h (y) d y = g (x) d x ⟹$ $\int h (y) d y = \int g (x) d x + C$ Notem que hem d'afegir una constant additiva, ja que en integrar sempre ens en surt una. Ara intentem aïllar $y$ en funció de $x$ i obtenim la solució.

Exemple

Per exemple, en el cas mostrat anteriorment: $\frac{1}{y} y^{'} = 2 x \Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 x \Rightarrow \frac{d y}{y} = 2 x \cdot d x \Rightarrow \int \frac{d y}{y} = \int 2 x \cdot d x + C \Rightarrow \Rightarrow \ln | y | = x^{2} + C \Rightarrow | y | = e^{x^{2} + C} = e^{x^{2}} \cdot e^{C} = K \cdot e^{x^{2}}, k > 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow y (x) = k \cdot e^{x^{2}}, k > 0$

Un concepte que és important destacar és que, de vegades, en separar les variables, podem perdre solucions pel camí. Per aconseguir tenir la $y$ estem suposant que $y \neq 0$ . Ara bé, si ens fixem en l'EDO ens adonem que $y = 0$ és també una solució, en la que $k$ val zero.

De vegades haurem de resoldre un PVI. En l'exemple hem trobat totes les solucions de l'EDO. Per trobar la solució que verifica un PVI n'hi ha prou amb imposar les condicions inicials i trobar la constant concreta que fa que es compleixi la condició.

Exemple

Considerem, per exemple el PVI: ${\begin{matrix} y^{'} = 2 x y \\ y (0) = 1 \end{matrix}$ Per l'exemple anterior sabem que les solucions són: $y (x) = k \cdot e^{x^{2}} k \in R$ .

Busquem, doncs, el valor de $k$ de manera que es compleixi $y (0) = 1$ : $y (0) = 1 \Rightarrow 1 = y (0) = k \cdot e^{0} \Rightarrow k = 1$ Per tant, la solució del nostre PVI és: $y (x) = e^{x^{2}}$ .

Anem a veure uns quants exemples:

Exemple

Resoldre l'EDO: $y^{'} = 4 x e^{-} y$ Es tracta d'una EDO separable ja que podem posar tot el que depèn de $x$ a una banda i tot el que depèn de $y$ a l'altre.

En efecte: $y^{'} \cdot e^{y} = 4 x$ Ara procedim com hem descrit: $y^{'} = \cdot e^{y} = 4 x \Rightarrow \frac{d y}{d x} e^{y} = 4 x \Rightarrow e^{y} \cdot d y = 4 x \cdot d x \Rightarrow \int e^{y} \cdot d y = \int 4 x \cdot d x \Rightarrow$ $\Rightarrow e^{y} = 2 x^{2} + C \Rightarrow y (x) = \ln (2 x^{2} + C)$ on $C$ és la constant que es determinaria en cas que tinguem condicions inicials.

Exemple

Resoldre l'EDO: $2 x + 5 = y^{'} \cdot \sin y$ Observem que, en aquest cas, l'equació ja té les variables separades.

Així doncs, procedim a fer les integrals: $2 x + 5 = y^{'} \sin y \Rightarrow 2 x + 5 = \sin y \cdot \frac{d y}{d x} \Rightarrow \int (2 x + 5) d x = \int \sin y d y \Rightarrow$ $\Rightarrow x^{2} + 5 x + C = - \cos y \Rightarrow y (x) = \arccos (- x^{2} - 5 x - C)$

Exemple

Resoldre l'EDO: $y^{'} = x \cdot (y^{2} + 1)$ Es tracta, una altra vegada, d'una EDO separable, n'hi ha prou a dividir els termes per $y^{2} + 1$ . Així doncs la seva solució s'obté de la següent manera:

$\frac{y^{'}}{y^{2} + 1} = x \Rightarrow \frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1} = x \Rightarrow \frac{d y}{y^{2} + 1} = x \cdot d x \Rightarrow \int \frac{d y}{y^{2} + 1} = \int x \cdot d x \Rightarrow$ $\Rightarrow \arctan y = x + C \Rightarrow y (x) = \tan (x + C)$