Equacions diferencials ordinàries exactes

Direm que l'EDO $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ on $P, Q$ són funcions de $x$ i $y$ , és exacta si $P_{y} = Q_{x}$ , on $P_{y}$ indica la derivada parcial de $P$ respecte de $y$ i $Q_{x}$ , la derivada parcial de $Q$ respecte de $x$ .

Exemple

Un exemple d'EDO exacta seria: $(x^{3} + y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ En efecte, anomenant $P (x, y) = (x^{3} + y^{3}), Q (x, y) = 3 x y^{2}$ tenim que $P_{y} = 3 y^{2} = Q_{x}$ .

Cal observar que no totes les EDO's són exactes, per exemple

Exemple

$- y^{2} \cdot d x + (x^{2} + x y) \cdot d y = 0$ no és exacta, ja que anomenant $P (x, y) = - y^{2}, Q (x, y) = x^{2} + x y$ , es té $P_{y} = - 2 y \neq Q_{x} = 2 x + y$ .

Resoldre aquest tipus d'equacions consisteix a trobar una funció $U (x, y)$ tal que $U_{x} = P$ i $U_{y} = Q$ i la solució ve donada per $U (x, y) = C$ , on $C$ és una constant.

Per resoldre aquest tipus d'equacions procedirem de la següent manera.

Tenim: $U_{x} (x, y) = P (x, y)$ . Integrem a banda i banda de la igualtat respecte de $x$ : $\int U_{x} (x, y) d x = \int P (x, y) d x \Rightarrow U (x, y) = \int P (x, y) d x + h (y)$

Per tant tenim determinada la funció, excepte que ens cal conèixer $h$ , que és una funció que només depèn de $y$ . Per trobar-la, derivem l'expressió anterior respecte de $y$ : $U_{y} (x, y) = \frac{d}{d y} \int P (x, y) d x + h^{'} (y)$ A més, sabem que $U_{y} = Q$ . Per tant igualant els termes obtenim una equació diferencial (que no depèn de $x$ , ja que l'EDO és exacta) per trobar $h (y)$ .

Un cop trobada $h (y)$ , l'afegim a l'expressió trobada de $U (x, y)$ que, igualada a una constant, és la solució de la nostra EDO.

Exemple

Resolem l'EDO $(x^{3} + y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ que sabem que és exacta.

Sabem que busquem una funció $U (x, y)$ de manera que $U_{x} (x, y) = P (x, y)$ . Com ja hem comentat tenim: $U (x, y) = \int P (x, y) d x + h (y) = \int (x^{3} + y^{3}) d x + h (y) = \frac{x^{4}}{4} + y^{3} x + h (y)$ on $h (y)$ és una funció a determinar que només depèn de $y$ . Per trobar aquesta funció, imposem que $U$ sigui solució, és a dir $U_{y} (x, y) = Q (x, y)$ .

Derivant respecte de $y$ obtenim una solució si la igualem a una constant: $\begin{array}{r} U_{y} = 3 y^{2} x + h^{'} (y) \\ U_{y} = Q (x, y) = 3 x y^{2} \end{array}} \Rightarrow h^{'} (y) = 0 \Rightarrow h (y) = C$ on $C$ és una constant que no és tan important, ja que també tindrem una constant en la solució final.

Així doncs, la solució de l'EDO serà: $U (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + x y^{3} = C$