Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas

Diremos que la EDO $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ donde $P, Q$ son funciones de $x$ y $y$ , es exacta si $P_{y} = Q_{x}$ , donde $P_{y}$ indica la derivada parcial de $P$ con respecto de $y$ y $Q_{x}$ , la derivada parcial de $Q$ respecto de $x$ .

Ejemplo

Una EDO exacta sería: $(x^{3} + y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ En efecto, llamando $P (x, y) = (x^{3} + y^{3}), Q (x, y) = 3 x y^{2}$ se tiene que $P_{y} = 3 y^{2} = Q_{x}$ .

Cabe observar que no todas la EDO's son exactas, por ejemplo

Ejemplo

$- y^{2} \cdot d x + (x^{2} + x y) \cdot d y = 0$ no es exacta, puesto que llamando $P (x, y) = - y^{2}, Q (x, y) = x^{2} + x y$ , se tiene $P_{y} = - 2 y \neq Q_{x} = 2 x + y$ .

Resolver este tipo de ecuaciones consiste en encontrar una función $U (x, y)$ tal que $U_{x} = P$ y $U_{y} = Q$ y la solución viene dada por $U (x, y) = C$ , donde $C$ es una constante.

Para resolver este tipo de ecuaciones procederemos de la siguiente forma.

Tenemos: $U_{x} (x, y) = P (x, y)$ . Integramos a ambos lados de la igualdad con respecto a $x$ : $\int U_{x} (x, y) d x = \int P (x, y) d x \Rightarrow U (x, y) = \int P (x, y) d x + h (y)$

Por lo tanto tenemos determinada la función excepto que nos falta conocer $h$ , que es una función que sólo depende de $y$ . Para encontrarla, derivamos la expresión anterior con respecto a $y$ : $U_{y} (x, y) = \frac{d}{d y} \int P (x, y) d x + h^{'} (y)$ Además, sabemos que $U_{y} = Q$ . Por lo tanto igualando los términos obtenemos una ecuación diferencial (que no depende de $x$ , puesto que la EDO es exacta) para encontrar $h (y)$ .

Una vez encontrada $h (y)$ , la añadimos a la expresión encontrada de $U (x, y)$ que, igualada a una constante, es la solución de nuestra EDO.

Ejemplo

Resolvamos la EDO $(x^{3} + y^{3}) d x + 3 x y^{2} d y = 0$ que sabemos que es exacta.

Sabemos que buscamos una función $U (x, y)$ de forma que $U_{x} (x, y) = P (x, y)$ . Como ya hemos comentado tenemos: $U (x, y) = \int P (x, y) d x + h (y) = \int (x^{3} + y^{3}) d x + h (y) = \frac{x^{4}}{4} + y^{3} x + h (y)$ donde $h (y)$ es una función a determinar que sólo depende de $y$ . Para encontrar esta función, impongamos que $U$ sea solución, es decir $U_{y} (x, y) = Q (x, y)$ .

Derivando con respecto a $y$ obtenemos una solución si la igualamos a una constante: $\begin{array}{r} U_{y} = 3 y^{2} x + h^{'} (y) \\ U_{y} = Q (x, y) = 3 x y^{2} \end{array}} \Rightarrow h^{'} (y) = 0 \Rightarrow h (y) = C$ donde $C$ es una constante que no es muy importante ya que igualmente tendrenos una constante a la solución final.

Así pues, la solución de la EDO será: $U (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + x y^{3} = C$