Diremos que la EDO$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$ donde $$P, Q$$ son funciones de $$x$$ y $$y$$, es exacta si $$P_y=Q_x$$, donde $$P_y$$ indica la derivada parcial de $$P$$ con respecto de $$y$$ y $$Q_x$$, la derivada parcial de $$Q$$ respecto de $$x$$.
Una EDO exacta sería:$$$(x^3+y^3) dx+3xy^2dy=0$$$ En efecto, llamando $$P(x,y)=(x^3+y^3), Q(x,y)=3xy^2$$ se tiene que $$P_y=3y^2=Q_x$$.
Cabe observar que no todas la EDO's son exactas, por ejemplo
$$$-y^2\cdot dx +(x^2+xy) \cdot dy=0$$$ no es exacta, puesto que llamando $$P(x,y)=-y^2, Q(x,y)=x^2+xy$$, se tiene $$$P_y=-2y\neq Q_x=2x+y$$$.
Resolver este tipo de ecuaciones consiste en encontrar una función $$U(x,y)$$ tal que $$U_x=P$$ y $$U_y=Q$$ y la solución viene dada por $$U(x,y)=C$$, donde $$C$$ es una constante.
Para resolver este tipo de ecuaciones procederemos de la siguiente forma.
Tenemos:$$U_x(x,y)=P(x,y)$$. Integramos a ambos lados de la igualdad con respecto a $$x$$: $$$\displaystyle \int U_x(x,y) \ dx=\int P(x,y) \ dx \Rightarrow U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)$$$
Por lo tanto tenemos determinada la función excepto que nos falta conocer $$h$$, que es una función que sólo depende de $$y$$. Para encontrarla, derivamos la expresión anterior con respecto a $$y$$: $$$\displaystyle U_y(x,y)= \frac{d}{dy} \int P(x,y) dx + h'(y)$$$ Además, sabemos que $$U_y=Q$$. Por lo tanto igualando los términos obtenemos una ecuación diferencial (que no depende de $$x$$, puesto que la EDO es exacta) para encontrar $$h(y)$$.
Una vez encontrada $$h(y)$$ , la añadimos a la expresión encontrada de $$U(x,y)$$ que, igualada a una constante, es la solución de nuestra EDO.
Resolvamos la EDO $$$(x^3+y^3)dx+3xy^2dy=0$$$ que sabemos que es exacta.
Sabemos que buscamos una función $$U(x,y)$$ de forma que $$U_x(x,y)=P(x,y)$$. Como ya hemos comentado tenemos: $$$U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)=\int (x^3+y^3)dx+h(y)=\frac{x^4}{4}+y^3x+h(y)$$$ donde $$h(y)$$ es una función a determinar que sólo depende de $$y$$. Para encontrar esta función, impongamos que $$U$$ sea solución, es decir $$U_y(x,y)=Q(x,y)$$.
Derivando con respecto a $$y$$ obtenemos una solución si la igualamos a una constante: $$$\left . \begin {array} {r} U_y=3y^2x+h'(y) \\ U_y=Q(x,y)=3xy^2 \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=0 \Rightarrow h(y)=C$$$ donde $$C$$ es una constante que no es muy importante ya que igualmente tendrenos una constante a la solución final.
Así pues, la solución de la EDO será: $$$\displaystyle U(x,y)=\frac{x^4}{4}+xy^3=C$$$