Exercicis de Equacions diferencials ordinàries exactes

Resol la següent equació: $(3 y + e^{x}) d x + (3 x + \cos y) d y = 0$

Desenvolupament:

Comprovem que es tracta d'una EDO exacta. Anomenant $P (x, y) = 3 y + e^{x}$ $Q (x, y) = 3 x + \cos (y)$ hem de comprovar que $P_{y} = Q_{x}$ . En efecte: $P_{y} = 3 Q_{x} = 3$ Sabem que $U_{x} = P = 3 y + e^{x} \Rightarrow U (x, y) = \int (3 y + e^{x}) d x + h (y) = 3 y \cdot x + e^{x} + h (y)$ Per tant, només ens cal calcular la funció $h (y)$ . Imposem que la $U$ obtinguda compleixi $U_{y} = Q$ : $\begin{array}{l} U_{y} = 3 x + h^{'} (y) \\ U_{y} = Q = 3 x + \cos (y) \end{array}} \Rightarrow h^{'} (y) = \cos (y) \Rightarrow h (y) = \sin (y)$ Per tant la solució de l' EDO exacta és: $U (x, y) = 3 x \cdot y + e^{x} + \sin (y) = C, C \in R$

Solució:

$U (x, y) = 3 x \cdot y + e^{x} + \sin (y) = C, C \in R$

Amagar desenvolupament i solució