Resol la següent equació: $$(3y+e^x)dx+(3x+\cos y) dy=0$$
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
Comprovem que es tracta d'una EDO exacta. Anomenant $$$P(x,y)=3y+e^x$$$ $$$Q(x,y)=3x+\cos(y)$$$ hem de comprovar que $$P_y=Q_x$$. En efecte: $$$P_y=3 \ \ \ Q_x=3$$$ Sabem que $$$U_x=P=3y+e^x \Rightarrow U(x,y)=\int (3y+e^x) dx+h(y)=3y\cdot x+e^x+h(y)$$$ Per tant, només ens cal calcular la funció $$h(y)$$. Imposem que la $$U$$ obtinguda compleixi $$U_y=Q$$: $$$\left . \begin {array} {l} U_y=3x+h'(y) \\ U_y=Q=3x+\cos(y) \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=\cos(y) \Rightarrow h(y)=\sin(y)$$$ Per tant la solució de l' EDO exacta és: $$$U(x,y)=3x\cdot y+e^x+\sin(y)=C, \ C\in\mathbb{R}$$$
Solució:
$$U(x,y)=3x\cdot y+e^x+\sin(y)=C, \ C\in\mathbb{R}$$