Equacions diferencials ordinàries lineals

Una EDO lineal és una EDO de la forma: $y^{'} = a (x) \cdot y + b (x)$ on $a (x)$ i $b (x)$ són funcions contínues.

Exemple

Un exemple d'EDO lineal seria: $y^{'} = 5 x^{2} \cdot y + 2 x^{2}$ encara que, de vegades, trobarem una EDO lineal després de fer alguna transformació. Per exemple, podrien haver-nos donat l'EDO de la següent manera: $\frac{y^{'}}{5 x^{2}} = y + \frac{2}{5}$

i l'hauríem de reescriure (multiplicant per $x^{2}$ ) per aconseguir la forma anterior.

En el cas particular en què $b (x) = 0$ , direm que l'equació és homogènia.

La resolució d'aquest tipus d'equacions es divideix en dos passos.

Resoldre la part homogènia.

Resolem l'equació: $y_{h}^{'} = a (x) \cdot y_{h}$ . Es tracta d'una EDO separable, i que, per tant, sabem resoldre. Aquesta solució és: $y_{h} (x) = k \cdot e^{\int a (x) d x}$

Exemple

En el nostre exemple, tenim: $y_{h}^{'} = 5 x^{2} y_{h} \Rightarrow y_{h} (x) = k \cdot e^{\int 5 x^{2} d x} = k \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}}$

Trobar una solució particular de l'EDO no homogènia.

Per a això utilitzarem el mètode de variació de constants. Anomenant $y_{1} (x) = e^{\int a (x) d x}$ busquem una solució particular del tipus $y_{p} (x) = u (x) \cdot y_{1} (x)$ .

Imposem que sigui solució: $\begin{matrix} y_{p}^{'} = u^{'} \cdot y_{1} + u \cdot y_{1}^{'} = u^{'} \cdot y_{1} + u \cdot a (x) \cdot y_{1} \\ y_{p}^{'} = a (x) \cdot y_{p} + b (x) = a (x) \cdot u \cdot y_{1} + b (x) \end{matrix}} \Rightarrow u^{'} = \frac{b (x)}{y_{1}}$

Resolem aquesta última equació (només cal integrar a banda i banda) i ja tenim una solució particular.

Exemple

En el nostre exemple prenem $y_{1} (x) = e^{\frac{5}{3} x^{3}}$ Llavors busquem una solució particular de la forma $y_{p} (x) = u (x) \cdot y_{1} (x)$ . Hem vist que $u (x)$ té la següent derivada $u^{'} = \frac{b (x)}{y_{1} (x)} = \frac{2 x^{2}}{e^{\frac{5}{3} x^{3}}} = 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}}$

i, integrant, s'obté: $u (x) = \int 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}} \cdot d x = - \frac{2}{5} e^{- \frac{5}{3} x^{3}}$

D'aquesta manera, $y_{p} (x) = - \frac{2}{5} \cdot e^{- \frac{5}{3} x^{3}} \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}} = - \frac{2}{5}$

Finalment la solució de l'equació lineal és $y (x) = y_{h} (x) + y_{p} (x)$ . Remarquem que la constant apareix en la solució homogènia (no té sentit posar constants d'integració en la particular).

Per tant, en el nostre exemple, la solució de l'EDO és: $y (x) = k \cdot e^{\frac{5}{3} x^{3}} - \frac{2}{5}$