Ejercicios de Ecuaciones reducidas y canónicas de las cuádricas

Desarrollo:

Primero, calculamos la matriz principal asociada a la ecuación de la cuádrica y el polinomio característico asociado.

En efecto, sea $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)=$$ $$=-x(x-1)(x-2)$$ Por lo tanto, a la vista de los resultados, vemos que dos VAPS son no nulos y un VAP es cero. La ecuación de la cuádrica se ha transformado en $$q(x,y,z)=x^2+2y^2+4y+2z+3=0$$ Como sólo tenemos término lineal para la $y$, completamos cuadrados para esta coordenada. En efecto, la ecuación de la cuádrica se transforma en $$q(x,y,z)=x^2+2(y+1{)}^2+2z+1\approx x^2+2y^2+2z+1=0$$ Por lo tanto, la forma reducida se trata de una del tipo parabólico. Finalmente, vamos a encontrar la ecuación canónica.

Sean $a=1$ y $b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ dos valores reales, entonces la ecuación de la cuádrica es de la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+2z+1=0$$ que es un paraboloide elíptico.

Solución:

La ecuación canónica es ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+2z+1=0$ que es un paraboloide elíptico.

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