Sigui $$x^2+y^2+z^2+2xz+4y+2z+3=0$$ l'equació d'una quàdrica. Classifiqueu-la de manera afí.
Desenvolupament:
Primer, calculem la matriu principal associada a l'equació de la quàdrica i el polinomi característic associat.
Sigui $$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)=$$$ $$$=-x(x-1)(x-2)$$$ Per tant, a la vista dels resultats, veiem que dos VAPS són no nuls i un VAP és zero. L'equació de la quàdrica s'ha transformat en $$$q(x,y,z)=x^2+2y^2+4y+2z+3=0$$$ Com que només tenim terme lineal per a la $$y$$, completem quadrats per a aquesta coordenada. En efecte, l'equació de la quàdrica es transforma en $$$q(x,y,z)=x^2+2(y+1)^2+2z+1 \approx x^2+2y^2+2z+1=0$$$ Per tant, la forma reduïda es tracta d'una del tipus parabòlic. Finalment, anem a trobar l'equació canònica.
Siguin $$a=1$$ i $$b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ dos valors reals, llavors l'equació de la quàdrica és de la forma $$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$$$ que és un paraboloide el·líptic.
Solució:
L' equació canònica és $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2z+1=0$$ que és un paraboloide el·líptic.