Exercicis de Equacions reduïdes i canòniques de les quàdriques

Desenvolupament:

Primer, calculem la matriu principal associada a l'equació de la quàdrica i el polinomi característic associat.

Sigui $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)=$$ $$=-x(x-1)(x-2)$$ Per tant, a la vista dels resultats, veiem que dos VAPS són no nuls i un VAP és zero. L'equació de la quàdrica s'ha transformat en $$q(x,y,z)=x^2+2y^2+4y+2z+3=0$$ Com que només tenim terme lineal per a la $y$, completem quadrats per a aquesta coordenada. En efecte, l'equació de la quàdrica es transforma en $$q(x,y,z)=x^2+2(y+1{)}^2+2z+1\approx x^2+2y^2+2z+1=0$$ Per tant, la forma reduïda es tracta d'una del tipus parabòlic. Finalment, anem a trobar l'equació canònica.

Siguin $a=1$ i $b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ dos valors reals, llavors l'equació de la quàdrica és de la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+2z+1=0$$ que és un paraboloide el·líptic.

Solució:

L' equació canònica és ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+2z+1=0$ que és un paraboloide el·líptic.

Amagar desenvolupament i solució