Equacions reduïdes i canòniques de les quàdriques

El nostre objectiu és passar de l'equació general d'una quàdrica $q(x,y,z)=0$ a una de les equacions canòniques de les quàdriques. Per fer-ho, obtindrem primer les anomenades formes reduïdes i a partir d'aquestes obtindrem les equacions canòniques.

Obtenció de les equacions reduïdes

Direm que un polinomi quadràtic $q(x,y,x)=0$ és reduït, o que la quàdrica $Q$ és reduïda, si la seva forma és una de les següents:

1. CENTRADA: ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2+{\mu }_3{z}^2+\mu$, amb ${\mu }_1,{\mu }_2>0$ i ${\mu }_3\ne 0$
2. PARABÒLICA: ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2-2z$, amb ${\mu }_1>0$ i ${\mu }_2\ne 0$
3. CILÍNDRICA CENTRADA: ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2+\mu$, amb ${\mu }_1>0$ i ${\mu }_2\ne 0$
4. CILÍNDRICA PARABÒLICA: ${\mu }_1{x}^2-2z$, amb ${\mu }_1>0$
5. PLANS PARAL·LELS: ${\mu }_1{x}^2+\mu$, amb ${\mu }_1>0$

En aquesta primera secció, el nostre objectiu serà convertir una equació general d'una cònica a una que sigui d'algun tipus anterior. Per aconseguir-ho, s'usa el següent resultat:

"Donat un sistema de coordenades rectangulars $X=(x,y,z)$ i un polinomi quadràtic $q(x,y,z)$, existeix un sistema de coordenades rectangulars $X^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ tal que la part principal del polinomi $q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ té la forma $${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+{\lambda }_3{z}^{\prime 3}$$ amb ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ i ${\lambda }_3\in \mathbb{R}$ l'anomenen forma diagonal.

A més a més,${\lambda }_1,{\lambda }_2$ i ${\lambda }_3$ són els valors propis de la matriu principal de $q(x,y,z)$.

Per començar, doncs, donada una equació general d'una quàdrica de la forma $q(x,y,z)=0$, calculem primer la matriu principal associada $A$.

Un cop obtinguda la matriu principal associada a la quàdrica, calculem el polinomi característic per calcular els valors propis d'aquesta matriu.

Recordem que per calcular el polinomi característic, s'ha de calcular el determinant $det(A-\lambda I)$.

Un cop obtinguts els valors propis, pel resultat enunciat amb anterioritat, sabem que hi ha un canvi de variables que ens passa de l'equació general a una equació de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3{z}^2+2px+2qy+2rz+d$$

Un cop obtinguda la primera reducció, anem a considerar diferents casos per anar obtenint les diferents formes reduïdes.

• Si ${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3\ne 0$, obtenim una equació de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3{z}^2+2px+2qy+2rz+d$$ mitjançant tres completacions de quadrat i, si cal, un canvi de signe i una reordenació de les coordenades, ens porten a una forma reduïda del tipus centrat.

• Si hi ha exactament dues ${\lambda }_i$ no nul·les, podem suposar que ${\lambda }_3=0$ i ${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$. Completant el quadrat altre cop, arribem a un polinomi de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2rz+d$$ Ara se'ns obren dos nous casos:

  • Si $r=0$, és clar que es tracta, potser després de reordenar les coordenades i de canviar de signe, d'una forma reduïda del tipus cilíndrica centrada.
  • Si $r\ne 0$, el canvi de $z$ per $z-d/2r$ ens porta a una equació de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2rz$$ amb $r\ne 0$, que òbviament és equivalent a una forma reduïda de tipus de parabòlic.

• Finalment, si hi ha un únic valor propi no nul, és clar que podem suposar que aquest valor propi és ${\lambda }_1$. Completant el quadrat respecte aquest valor propi, podem suposar que l'equació és de la forma $${\lambda }_1{x}^2+2qy+2rz+d$$ A partit d'aquí, se'ns obren dos possibles casos:

  • Si $q=r=0$, el polinomi és clarament equivalent a la forma reduïda d'un parell de plans paral·lels.
  • Si un dels dos valors és diferent de $0$, podem eliminar $d$ fent el canvi $$y⟶y-\frac{d}{2q}$$ si $q\ne 0$ o el canvi $z⟶z-\frac{d}{2r}$, si $r\ne 0$.

  Finalment podem fer el canvi de coordenades rectangulars tals que $${\displaystyle (x,\frac{1}{p}(qy+rz),\frac{1}{p}(-ry+qz))⟶(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$$ on $${\displaystyle p=(q^2+r^2{)}^{\frac{1}{2}}}$$

  que ens porta a una forma reduïda de tipus cilíndric parabòlica.

Per tant, hem aconseguit portar una equació general d'una quàdrica a una equació del tipus reduït. A continuació, veurem que a partir d'una equació reduïda s'obté una equació canònica i d'aquesta, es podrà deduir quina cònica és.

Equacions canòniques

Anem a buscar les diferents equacions canòniques. Això ens permetrà classificar qualsevol tipus de quàdrica.

Per anar obtenint els diferents tipus d'equacions canòniques, ens anirem centrant en cadascuna de les formes reduïdes i en funció dels valors que prenguin els diferents paràmetres, obtindrem les diferents equacions canòniques.

Quàdriques de tipus centrat

Si $\mu \ne 0$ i definim nombres reals positius $a,b,c$ per les fórmules $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\mu }_1}},b=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\mu }_2}}}$$ i $${\displaystyle c=\sqrt{\frac{|\mu |}{|{\mu }_3|}}}$$ i l'equació reduïda adopta la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}\pm 1=0}$$ i les quatre possibilitats per als signes donen a lloc quatre quàdriques: l'elecció $(+,+)$ dóna un el·lipsoide imaginari; $(+,-)$ dóna un el·lipsoide real; $(-,+)$ dóna un hiperboloide no reglat; i $(-,-)$ dóna un hiperboloide reglat.

D'altra banda, si $\mu =0$, definim els nombres reals positius $a,b,c$ per les fórmules $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_1}},b=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_2}}}$$ i $$c=\sqrt{\frac{1}{|{\mu }_3|}}$$ amb la qual cosa l'equació reduïda s'escriu: $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}=0}$$

L'elecció del signe positiu dóna a lloc a un con imaginari i la del signe negatiu a un con real.

Quàdriques de tipus parabòlic

Definim nombres reals $a$ i $b$ per les fórmules $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_1}}}$$ and $${\displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|{\mu }_2|}}}$$

D'aquesta manera, l'equació reduïda adopta la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}-2z=0}$$

L'elecció del signe positiu dóna lloc a un paraboloide el·líptic, i la del signe negatiu, a un paraboloide hiperbòlic.

Cilindres centrats

Suposem primer que $\mu \ne 0$. En aquest cas, si definim nombres reals positius per les fórmules $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\mu }_1}}}$$ i $${\displaystyle b=\sqrt{\frac{|\mu |}{|{\mu }_2|}}}$$ l'equació reduïda adopta la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}\pm 1=0}$$

L'elecció $(+,+)$ dels signes dóna lloc a un cilindre el·líptic imaginari; $(+,-)$ a un cilindre el·líptic real; $(-,+)$ i $(-,-)$ a cilindres hiperbòlics.

Si $\mu =0$, podem definir nombres reals positius $a$ i $b$ per les fórmules $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_1}}}$$ i $${\displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|{\mu }_2|}}}$$ i per tant l'equació reduïda adopta la forma $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=0}$$

L'elecció del signe positiu dóna a lloc a un parell de plans imaginaris conjugats i l'elecció del signe negatiu a un parell de plans reals.

Cilindres parabòlics

Si posem ${\displaystyle p=\frac{1}{{\mu }_1}}$ , l'equació reduïda s'escriu $x^2-2py=0$ que és un cilindre parabòlic.

Parell de plans paral·lels

Suposem, primer, que $\mu \ne 0$. Si posem $${\displaystyle k=\sqrt{\frac{|\mu |}{|{\mu }_1|}}}$$ l'equació reduïda adopta la forma $x^2\pm k^2=0$, $k>0$.

L'elecció del signe negatiu dóna un parell de plans paral·lels, i la del positiu un parell de plans paral·lels imaginaris conjugats.

Si $\mu =0$, l'equació reduïda és equivalent a una equació de la forma $x^2=0$, que representa un pla doble (dos plans paral·lels coincidents).

Ara, anem a donar un petit resum de com hem de procedir per poder donar una classificació afí de les quàdriques mitjançant tots els resultats anteriorment exposats.

• Per començar, donada l'equació general de la quàdrica, calculem la matriu principal associada $A^{\prime }$. Un cop obtinguda la matriu, calculem el polinomi característic associat i busquem les seves arrels per així trobar els valors propis de la matriu $A^{\prime }$. Llavors, l'equació de la quàdrica passarà a ser de la forma ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3{z}^2+2px+2qy+2rz+d$.
• Llavors, depenent de si algun dels valors propis és zero, completarem quadrats amb les coordenades que els seus valors propis siguin no nuls i tinguin termes lineals. Això ens permetrà obtenir una de les formes reduïdes.
  1. ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2+{\mu }_3{z}^2+\mu$, amb ${\mu }_1,{\mu }_2>0$, ${\mu }_3\ne 0$.
  2. ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2-2z$, amb ${\mu }_1>0$, ${\mu }_2\ne 0$.
  3. ${\mu }_1{x}^2+{\mu }_2{y}^2+\mu$, amb ${\mu }_1>0$, ${\mu }_2\ne 0$.
  4. ${\mu }_1{x}^2-2z$, amb ${\mu }_1>0$.
  5. ${\mu }_1{x}^2\mu$, amb ${\mu }_1>0$.
• Un cop tinguem una de les diferents formes reduïdes, mitjançant diferents canvis de coordenades exposats a la secció de Equacions Canòniques, obtindrem una de les equacions canòniques. Un cop obtinguda, haurem passat d'una equació general a una equació canònica i per tant, haurem classificat la quàdrica.