Invariants de les quàdriques i classificació euclidiana

Definicions

Donat un polinomi quadràtic $q (x, y, z)$ , sigui $\overset{―}{A}$ la seva matriu i $A$ la seva matriu principal. Definim els nombres reals $D_{i} = D_{i} (\overset{―}{A}), 1 \leq i \leq 4, d_{i} = d_{i} (A), 1 \leq i \leq 3$ per les fórmules següents: $d e t (λ \cdot I_{4} - \overset{―}{A}) = λ^{4} - D_{1} λ^{3} + D_{2} λ^{2} - D_{3} λ + D_{4}$ $d e t (λ \cdot I_{3} - A) = λ^{3} - d_{1} λ^{2} + d_{2} λ - d_{3}$ L'expressió $D_{4} = d e t (\overset{―}{A})$ s'anomena discriminant de $q (x, y, z)$ . Anàlogament, l'expressió $d_{3} = d e t (A)$ s'anomena discriminant de la part principal de $q (x, y, z)$ . Remarquem que $d_{1} = a + b + c d_{2} = a b + a c + b c - (f^{2} + g^{2} + h^{2})$

En la classificació efectiva de les quàdriques intervé encara un altre factor més, que es diu índex, denotat per $j$ , o índex de la part principal. L'índex principal de $q (x, y, z)$ és $1$ si $d_{1} d_{3} < 0$ o $d_{2} < 0$ , i $0$ en cas contrari.

Classificació euclidiana de les quàdriques

{\begin{cases} D_{4} = 0 {\begin{matrix} d_{3} = 0 {\begin{matrix} d_{2} \neq 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 {\begin{matrix} d_{1} D_{3} < 0 cilindre el·líptic real \\ d_{1} D_{3} > 0 cilindre el·líptic imaginari \end{matrix} \\ D_{3} = 0 parell de plans imaginaris conjugats \end{matrix} \\ d_{2} < 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 cilindre hiperbòlic \\ D_{3} = 0 parell de plans paral·lels \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{2} = 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 cilindre parabòlic \\ D_{3} = 0 {\begin{matrix} D_{2} < 0 parell de plans reals paral·lels \\ D_{2} > 0 parell de plans imaginaris conjugats \\ D_{2} = 0 pla doble \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{3} \neq 0 {\begin{matrix} j = 0 con imaginari \\ j = 1 con real \end{matrix} \end{matrix} \\ D_{4} \neq 0 {\begin{matrix} d_{3} \neq 0 {\begin{matrix} j = 0 el·lipsoide {\begin{matrix} D_{4} < 0 real \\ D_{4} > 0 imaginari \end{matrix} \\ j = 1 hiperboloide {\begin{matrix} D_{4} < 0 de dues fulles \\ D_{4} > 0 d'una fulla \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{3} = 0 paraboloide {\begin{matrix} D_{4} < 0 el·líptic \\ D_{4} > 0 hiperbòlic \end{matrix} \end{matrix} \end{cases}

Obtenció de les equacions reduïdes a partir dels invariants

Suposem que tenim una quàdrica donada per l'equació $q (x, y, z) = 0$ en un sistema de coordenades rectangulars $(x, y, z)$ . Suposem que també hem determinat l'espècie de la quàdrica mitjançant l'esquema anterior i tenim calculats els seus valors propis $λ_{1}, λ_{2}$ i $λ_{3}$ de la matriu principal de $q (x, y, z)$ .

Quàdriques del tipus centrat

Si la quàdrica és del tipus centrat, la forma reduïda $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + λ_{3} z^{2} + \frac{D_{4}}{d_{3}} = 0$ referida a un sistema de coordenades rectangular convenient, defineix una quàdrica que coincideix amb $Q$ .

Quàdriques del tipus parabòlic

Hi ha dos valors propis no nuls $λ_{1} > 0$ i $λ_{2}$ . La quàdrica es defineix la forma reduïda $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} - 2 z \sqrt{\frac{- D_{4}}{d_{2}}} = 0$ referida a un sistema de coordenades convenient, coincideix amb $Q$ .

Quàdriques degenerades

Els cons ja han estat considerats. Pel que fa a les altres degenerades, l'obtenció d'una equació reduïda a partir dels invariants és equivalent a l'obtenció de les equacions reduïdes de les còniques. Per a les quàdriques del tipus cilíndric centrat, per exemple, la forma reduïda és $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + \frac{D_{3}}{d_{2}} = 0$ i per a les del tipus cilíndric parabòlic, la seva forma reduïda és $λ_{1} x^{2} - 2 y \sqrt{\frac{- D_{3}}{d_{1}}} = 0$

Finalment, la forma reduïda d'un parell de rectes paral·leles és $λ_{1} x^{2} + \frac{D_{2}}{d_{1}} = 0$

Com a punt final al nivell, es pot calcular el volum d'un el·lipsoide real mitjançant els invariants euclidians. La seva fórmula és $A = \frac{4}{3} π \sqrt{\frac{D_{4}^{3}}{d_{3}^{3}}}$

Exemple

Donada la quàdrica $x^{2} + y^{2} + 2 x z + 6 z - 2 = 0$ Classifiqueu-la mitjançant els invariants euclidians.

La matriu associada a la quàdrica és $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & - 2 \end{matrix}]$ Un cop obtinguda la matriu, anem a calcular els invariants euclidians. Per fer-ho, anem a considerar els següents determinants: $d e t (x \cdot I - \overset{―}{A}) = x^{4} - 13 x^{2} + 19 x - 7 d e t (x \cdot I - A) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ A la vista dels dos determinants, els invariants euclidians són els següents: ${\begin{cases} D_{1} = 0 \\ D_{2} = - 13 \\ D_{3} = - 19 \\ D_{4} = - 7 \end{cases}$ i ${\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{2} = 0 \\ d_{3} = - 1 \end{cases}$ Un cop obtinguts els invariants euclidians, només falta calcular el seu índex. Com $d_{1} d_{3} < 0$ , l'índex és $1$ . Per tant, per l'esquema de classificació, tenim que:

$D_{4} < 0, d_{3} \neq 0$ i $J = 1$ .

Per tant, es tracta d'un hiperboloide el·líptic.

Exemple

Donada la quàdrica $q (x, y, z) = x^{2} + 4 x y + 2 x z + 4 y^{2} + 4 y z + z^{2} + 2 x = 0$ anem a classificar-la mitjançant els invariants euclidians.

Calculem la matriu associada a la quàdrica i després els seus polinomis característics associats a la matriu i a la matriu principal: $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ $d e t (\overset{―}{A} - x \cdot I - \overset{―}{A}) = x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 5 x d e t (A - x \cdot I) = - x^{3} + 6 x^{2}$ Per tant, tenim que els invariants euclidians són: ${\begin{cases} D_{1} = 6 \\ D_{2} = - 1 \\ D_{3} = - 5 \\ D_{4} = 0 \end{cases}$ i ${\begin{cases} d_{1} = 6 \\ d_{2} = 0 \\ d_{3} = 0 \end{cases}$ Per tant, mitjançant l'esquema de classificació dels invariants euclidians, tenim que la quàdrica és un cilindre parabòlic.