Invariantes de las cuádricas y clasificación euclídea

Definiciones

Dado un polinomio cuadrático $q (x, y, z)$ , sea $\overset{―}{A}$ su matriz y $A$ su matriz principal. Definimos los números reales $D_{i} = D_{i} (\overset{―}{A}), 1 \leq i \leq 4, d_{i} = d_{i} (A), 1 \leq i \leq 3$ por las fórmulas: $d e t (λ \cdot I_{4} - \overset{―}{A}) = λ^{4} - D_{1} λ^{3} + D_{2} λ^{2} - D_{3} λ + D_{4}$ $d e t (λ \cdot I_{3} - A) = λ^{3} - d_{1} λ^{2} + d_{2} λ - d_{3}$ La expresión $D_{4} = d e t (\overset{―}{A})$ se denomina discriminante de $q (x, y, z)$ . Análogamente, la expresión $d_{3} = d e t (A)$ se llama discriminante de la parte principal de $q (x, y, z)$ . Remarcamos que $d_{1} = a + b + c d_{2} = a b + a c + b c - (f^{2} + g^{2} + h^{2})$

En la clasificación efectiva de las cuádricas interviene aún otro factor más, que se llama índice, denotado por $j$ , o índice de la parte principal. El índicde principal de $q (x, y, z)$ es $1$ si $d_{1} d_{3} < 0$ o $d_{2} < 0$ , y $0$ en otro caso.

Clasificación euclidiana de las cuádricas

{\begin{cases} D_{4} = 0 {\begin{matrix} d_{3} = 0 {\begin{matrix} d_{2} \neq 0 {\begin{matrix} d_{2} > 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 {\begin{matrix} d_{1} D_{3} < 0 cilindro elíptico real \\ d_{1} D_{3} > 0 cilindro elíptico imaginario \end{matrix} \\ D_{3} = 0 par de planos paralelos conjugados \end{matrix} \\ d_{2} < 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 cilindro hiperbólico \\ D_{3} = 0 par de planos paralelos \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{2} = 0 {\begin{matrix} D_{3} \neq 0 cilindro parabólico \\ D_{3} = 0 {\begin{matrix} D_{2} < 0 par de planos paralelos reales \\ D_{2} > 0 par de planos imaginarios conjugados \\ D_{2} = 0 doble plano \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{3} \neq 0 {\begin{matrix} j = 0 cono imaginario \\ j = 1 cono real \end{matrix} \end{matrix} \\ D_{4} \neq 0 {\begin{matrix} d_{3} \neq 0 {\begin{matrix} j = 0 elipsoide {\begin{matrix} D_{4} < 0 real \\ D_{4} > 0 imaginaria \end{matrix} \\ j = 1 hiperboloide {\begin{matrix} D_{4} < 0 dos hojas \\ D_{4} > 0 una hoja \end{matrix} \end{matrix} \\ d_{3} = 0 paraboloide {\begin{matrix} D_{4} < 0 elíptico \\ D_{4} > 0 hiperbólico \end{matrix} \end{matrix} \end{cases}

Obtención de las ecuaciones reducidas a partir de los invariantes

Supongamos que tenemos una cuádrica dada por la ecuación $q (x, y, z) = 0$ en un sistema de coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ . Supongamos que también hemos determinado la especie de la cuádrica mediante el esquema anterior i tenemos calculados sus valores propios $λ_{1}, λ_{2}$ y $λ_{3}$ de la matriz principal de $q (x, y, z)$ .

Cuádricas del tipo centrado

Si la cuádrica es del tipo centrado, la forma reducida $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + λ_{3} z^{2} + \frac{D_{4}}{d_{3}} = 0$ referida a un sistema de coordenadas rectangular conveniente, define una cuádrica que coincide con $Q$ .

Cuádricas del tipo parabólico

Hay dos valores propios no nulos $λ_{1} > 0$ y $λ_{2}$ . La cuádrica definida por la forma reducida $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} - 2 z \sqrt{\frac{- D_{4}}{d_{2}}} = 0$ referida a un sistema de coordenadas conveniente, coincide con $Q$ .

Cuádricas degeneradas

Los conos ya han sido considerados. Por lo que respecta a las otras degeneradas, la obtención de una ecuación reducida a partir de los invariantes es equivalente a la obtención de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Para las cuádricas del tipo cilíndrico centrado, por ejemplo, la forma reducida es $λ_{1} x^{2} + λ_{2} y^{2} + \frac{D_{3}}{d_{2}} = 0$ y para las del tipo cilíndrico parabólico, su forma reducida es $λ_{1} x^{2} - 2 y \sqrt{\frac{- D_{3}}{d_{1}}} = 0$

Finalmente, la forma reducida de un par de rectas paralelas es $λ_{1} x^{2} + \frac{D_{2}}{d_{1}} = 0$

Como punto final al nivel, se puede calcular el volumen de un elipsoide real mediante los invariantes euclidianos. Su fórmula es $A = \frac{4}{3} π \sqrt{\frac{D_{4}^{3}}{d_{3}^{3}}}$

Ejemplo

Dada la cuádrica $x^{2} + y^{2} + 2 x z + 6 z - 2 = 0$ clasificadla mediante los invariantes euclídeos.

La matriz asociada a la cuádrica es $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & - 2 \end{matrix}]$ Una vez obtenida la matriz, vamos a calcular los invariantes euclídeos. Para hacerlo, vamos a considerar los siguientes determinantes: $d e t (x \cdot I - \overset{―}{A}) = x^{4} - 13 x^{2} + 19 x - 7 d e t (x \cdot I - A) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ A la vista de los dos determinantes, los invariantes euclídeos son los siguientes: ${\begin{cases} D_{1} = 0 \\ D_{2} = - 13 \\ D_{3} = - 19 \\ D_{4} = - 7 \end{cases}$ y ${\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{2} = 0 \\ d_{3} = - 1 \end{cases}$ Una vez obtenidos los invariantes euclídeos, solo falta calcular su índice. Como $d_{1} d_{3} < 0$ , el índice es $1$ . Por lo tanto, por el esquema de clasificación, tenemos que:

$D_{4} < 0, d_{3} \neq 0$ y $J = 1$ .

Por lo tanto, se trata de un hiperboloide elíptico.

Ejemplo

Dada la cuádrica $q (x, y, z) = x^{2} + 4 x y + 2 x z + 4 y^{2} + 4 y z + z^{2} + 2 x = 0$ vamos a clasificarla mediante los invariantes euclídeos.

Calculamos la matriz asociada a la cuádrica y luego sus polinomios característicos asociados a la matriz y a la matriz principal: $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ $d e t (\overset{―}{A} - x \cdot I - \overset{―}{A}) = x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 5 x d e t (A - x \cdot I) = - x^{3} + 6 x^{2}$ Por lo tanto, tenemos que los invariantes euclídeos son: ${\begin{cases} D_{1} = 6 \\ D_{2} = - 1 \\ D_{3} = - 5 \\ D_{4} = 0 \end{cases}$ y ${\begin{cases} d_{1} = 6 \\ d_{2} = 0 \\ d_{3} = 0 \end{cases}$ Por lo tanto, mediante el esquema de clasificación de los invariantes euclídeos, tenemos que la cuádrica es un cilindro parabólico.