Definición y matrices asociadas de una cuádrica analítica

Dado un polinomio cuadrático real $$\begin{gathered} q(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d \end{gathered}$$ en las coordenadas rectangulares $(x,y,z)$, diremos que la ecuación $q(x,y,z)=0$ define una cuádrica, que denotaremos por $Q$.

Recordemos que la definición cuadrático incluye la condición de que la parte principal de $q(x,y,z)$ $$q_2(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+2fxy+2gxz+2hyz$$no es idénticamente nula.

Un punto $(a,b,c)$ pertenece a la cuádrica $Q$ si y solo si $Q(a,b,c)=0$. El punto se llama real si $a,b,c$ son reales e imaginario si alguna de sus coordenadas es compleja.

Nótese, que si $(a,b,c)$ es un punto imaginario perteneciente a la cuádrica, como $q(x,y,z)$ es un polinomio real, $Q$ contiene al conjugado de $(a,b,c)$.

Si $(x^{\prime },y^{\prime }.z^{\prime })$ es otro sistema de coordenadas rectangulares y $$q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=a^{\prime }{x}^{\prime 2}+b^{\prime }{y}^{\prime 2}+c^{\prime }{z}^{\prime 2}+2f^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }+2g^{\prime }{x}^{\prime }{z}^{\prime }+$$ $$+2h^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }+2p^{\prime }{x}^{\prime }+2q^{\prime }{y}^{\prime }+2r^{\prime }{z}^{\prime }+d^{\prime }$$ es un polinomio cuadrático real en (x',y',z'), diremos que $Q$ coincide con $Q^{\prime }$, o que las ecuaciones $q(x,y,z)=0$ y $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=0$ definen la misma cuádrica, si y solo si existe un número real no nulo $K$ tal que $$q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=Kq(x^{\prime },y^{\prime }{z}^{\prime })$$ donde $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=0$ denota el polinomio en $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ que se obtiene substituyendo las coordenadas $(x,y,z)$ del polinomio $q(x,y,z)$ por las expresiones del cambio de coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$.

Matrices asociadas

Ponemos $$A=\left[\begin{array}{ccc}a& f& g\\ f& b& h\\ g& h& c\end{array}\right]$$ y decimos que es la matriz principal del polinomio $q(x,y,z)$.

Análogamente, definimos $$\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}A& {\omega }^T\\ \omega d\end{array}\right],\omega =(p,q,r)$$ y decimos que es la matriz del polinomio $q(x,y,z)$.

También decimos que $A$ es la matriz principal de $\bar{A}$. A estas dos matrices también se las llama matriz del infinito y matriz proyectiva de la cónica.

El conocimiento de $A$ equivale al de la parte principal de $q(x,y,z)$ (es decir a $q_2(x,y,z)$), ya que $$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z{)}^T$$

Análogamente, el conocimiento de $\bar{A}$ equivale al conocimiento de $q(x,y,z)$ ya que $$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\bar{A}(x,y,z,1{)}^T$$

Observemos, sin embargo, que la cuádrica $Q$ sólo determina $\bar{A}$ salvo un factor real no nulo.

A continuación, vamos a dar dos resultados que nos van a permitir reducir la ecuación general de una cuádrica:

• Dado un polinomio $q(X)=q(x,y,z)$ en las coordenadas $X=(x,y,z)$, con matriz $A$ y matriz principal $\bar{A}$, el polinomio $q(X^{\prime })=q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ definido por la fórmula $q(X^{\prime })=q(X^{\prime }{M}^t+P)$ tiene matriz ${\bar{A}}^{\prime }={\bar{M}}^T\bar{A}\bar{M}$ y matriz principal $A^{\prime }=M^{T}AM$.

  Obsérvese que en este resultado usamos la notación $X=(x,y,z)$ para indicar que $X$ es el vector tridimensional que tiene por coordenadas $X$. Esta notación la usamos para ahorrarnos escritura.

• Dado un sistema de coordenadas rectangulares $X=(x,y,z)$ y un polinomio cuadrático $q(x,y,z)$, existe un sistema de coordenadas rectangulares $X^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ tal que la parte principal del polinomio $q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ tiene la forma ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+{\lambda }_3{z}^{\prime 2}$ que denominaremos forma diagonal. Además,${\lambda }_1$,${\lambda }_2$ y ${\lambda }_3$ son valores propios reales de la matriz principal de $q(x,y,z)$.