Definición y matrices asociadas de una cuádrica analítica

Dado un polinomio cuadrático real $$$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d$$$ en las coordenadas rectangulares $$(x,y,z)$$, diremos que la ecuación $$q(x,y,z)=0$$ define una cuádrica, que denotaremos por $$Q$$.

Recordemos que la definición cuadrático incluye la condición de que la parte principal de $$q(x,y,z)$$ $$$q_2(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz$$$no es idénticamente nula.

Un punto $$(a, b, c)$$ pertenece a la cuádrica $$Q$$ si y solo si $$Q (a, b, c) = 0$$. El punto se llama real si $$a, b, c$$ son reales e imaginario si alguna de sus coordenadas es compleja.

Nótese, que si $$(a, b, c)$$ es un punto imaginario perteneciente a la cuádrica, como $$q(x,y,z)$$ es un polinomio real, $$Q$$ contiene al conjugado de $$(a, b, c)$$.

Si $$(x',y'.z')$$ es otro sistema de coordenadas rectangulares y $$$q(x',y',z')=a'x'^2+b'y'^2+c' z'^2+2f'x'y'+2g'x'z'+$$$ $$$+2h'y'z'+2p'x'+2q'y'+2r'z'+d'$$$ es un polinomio cuadrático real en (x',y',z'), diremos que $$Q$$ coincide con $$Q'$$, o que las ecuaciones $$q(x,y,z)=0$$ y $$q'(x',y',z')=0$$ definen la misma cuádrica, si y solo si existe un número real no nulo $$K$$ tal que $$$q'(x',y',z')=Kq(x',y'z')$$$ donde $$q'(x',y',z')=0$$ denota el polinomio en $$(x',y',z')$$ que se obtiene substituyendo las coordenadas $$(x,y,z)$$ del polinomio $$q(x,y,z)$$ por las expresiones del cambio de coordenadas $$(x',y',z')$$.

Matrices asociadas

Ponemos $$$A= \begin{bmatrix} a & f & g \\ f & b & h \\ g & h & c \end{bmatrix}$$$ y decimos que es la matriz principal del polinomio $$q(x,y,z)$$.

Análogamente, definimos $$$\overline{A}=\begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega d \end{bmatrix}, \omega=(p,q,r)$$$ y decimos que es la matriz del polinomio $$q(x,y,z)$$.

También decimos que $$A$$ es la matriz principal de $$\overline{A}$$. A estas dos matrices también se las llama matriz del infinito y matriz proyectiva de la cónica.

El conocimiento de $$A$$ equivale al de la parte principal de $$q(x,y,z)$$ (es decir a $$q_2(x,y,z)$$), ya que $$$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z)^T $$$

Análogamente, el conocimiento de $$\overline{A}$$ equivale al conocimiento de $$q(x,y,z)$$ ya que $$$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\overline{A}(x,y,z,1)^T$$$

Observemos, sin embargo, que la cuádrica $$Q$$ sólo determina $$\overline{A}$$ salvo un factor real no nulo.

A continuación, vamos a dar dos resultados que nos van a permitir reducir la ecuación general de una cuádrica:

• Dado un polinomio $$q(X)=q(x,y,z)$$ en las coordenadas $$X=(x,y,z)$$, con matriz $$A$$ y matriz principal $$\overline{A}$$, el polinomio $$q(X')=q(x',y',z')$$ definido por la fórmula $$q(X')=q(X'M^t+P)$$ tiene matriz $$\overline{A}'=\overline{M}^T\overline{A}\overline{M}$$ y matriz principal $$A' = M^TAM$$.

  Obsérvese que en este resultado usamos la notación $$X=(x,y,z)$$ para indicar que $$X$$ es el vector tridimensional que tiene por coordenadas $$X$$. Esta notación la usamos para ahorrarnos escritura.

• Dado un sistema de coordenadas rectangulares $$X=(x,y,z)$$ y un polinomio cuadrático $$q(x,y,z)$$, existe un sistema de coordenadas rectangulares $$X'=(x',y',z')$$ tal que la parte principal del polinomio $$q(x',y',z')$$ tiene la forma $$\lambda_1 x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$$ que denominaremos forma diagonal. Además,$$\lambda_1$$,$$\lambda_2$$ y $$\lambda_3$$ son valores propios reales de la matriz principal de $$q(x,y,z)$$.