Definició i matrius associades d'una quàdrica analítica

Donat un polinomi quadràtic real $$\begin{gathered} q(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d \end{gathered}$$ en les coordenades rectangulars $(x,y,z)$, direm que l'equació $q(x,y,z)=0$ defineix una quàdrica,què denotarem per $Q$.

Recordem que la definició quadràtic inclou la condició que la part principal de $q(x,y,z)$ $$q_2(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+2fxy+2gxz+2hyz$$no és idènticament nul·la.

Un punt $(a,b,c)$ pertany a la quàdrica $Q$ si i només si $Q(a,b,c)=0$. El punt es diu real si $a,b,c$ són reals i imaginari si alguna de les seves coordenades és complexa.

Noteu, que si $(a,b,c)$ és un punt imaginari pertanyent a la quàdrica, com $q(x,y,z)$ és un polinomi real, $Q$ conté al conjugat de $(a,b,c)$.

Si $(x^{\prime },y^{\prime }.z^{\prime })$ és un altre sistema de coordenades rectangulars i $$q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=a^{\prime }{x}^{\prime 2}+b^{\prime }{y}^{\prime 2}+c^{\prime }{z}^{\prime 2}+2f^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }+2g^{\prime }{x}^{\prime }{z}^{\prime }+$$ $$+2h^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }+2p^{\prime }{x}^{\prime }+2q^{\prime }{y}^{\prime }+2r^{\prime }{z}^{\prime }+d^{\prime }$$ és un polinomi quadràtic real en (x',y',z'), direm que $Q$ coincideix amb $Q^{\prime }$, o que les equacions $q(x,y,z)=0$ i $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=0$ defineixen la mateixa quàdrica, si i només si existeix un nombre real no nul $K$ tal que $$q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=Kq(x^{\prime },y^{\prime }{z}^{\prime })$$ on $q^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=0$ denota el polinomi en $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ que s'obté substituint les coordenades $(x,y,z)$ del polinomi $q(x,y,z)$ per les expressions del canvi de coordenades $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$.

Matrius associades

Posem $$A=\left[\begin{array}{ccc}a& f& g\\ f& b& h\\ g& h& c\end{array}\right]$$ i diem que és la matriu principal del polinomi $q(x,y,z)$.

Anàlogament, definim $$\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}A& {\omega }^T\\ \omega d\end{array}\right],\omega =(p,q,r)$$ i diem que és la matriu del polinomi $q(x,y,z)$.

També diem que $A$ és la matriu inicial de $\bar{A}$. A aquestes dues matrius també se les anomena matriu de l'infinit i matriu projectiva de la cònica.

El coneixement d' $A$ equival al de la part principal de $q(x,y,z)$ (és a dir de $q_2(x,y,z)$), ja que $$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z{)}^T$$

Anàlogament, el coneixement d' $\bar{A}$ equival al coneixement de $q(x,y,z)$ ja que $$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\bar{A}(x,y,z,1{)}^T$$

Observem, però, que la quàdrica $Q$ només determina $\bar{A}$ excepte un factor real no nul.

A continuació, anem a donar dos resultats que ens permetran reduir l'equació general d'una quàdrica:

• Donat un polinomi $q(X)=q(x,y,z)$ en les coordenades $X=(x,y,z)$, amb matriu $A$ i matriu principal $\bar{A}$, el polinomi $q(X^{\prime })=q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ definit per la fórmula $q(X^{\prime })=q(X^{\prime }{M}^t+P)$ té matriu ${\bar{A}}^{\prime }={\bar{M}}^T\bar{A}\bar{M}$ i matriu principal $A^{\prime }=M^{T}AM$.

  Tingueu en compte que en aquest resultat, es fa servir la notació $X=(x,y,z)$ per indicar que $X$ és el vector tridimensional que té per coordenades $X$. Aquesta notació la fem servir per estalviar escriptura.

• Donat un sistema de coordenades rectangulars $X=(x,y,z)$ i un polinomi quadràtic $q(x,y,z)$, existeix un sistema de coordenades rectangulars $X^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ tal que la part principal del polinomi $q(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ té la forma ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+{\lambda }_3{z}^{\prime 2}$ que anomenarem forma diagonal. A més,${\lambda }_1$,${\lambda }_2$ i ${\lambda }_3$ són valors propis reals de la matriu inicial de $q(x,y,z)$.