Definició i matrius associades d'una quàdrica analítica

Donat un polinomi quadràtic real $$$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d$$$ en les coordenades rectangulars $$(x,y,z)$$, direm que l'equació $$q(x,y,z)=0$$ defineix una quàdrica,què denotarem per $$Q$$.

Recordem que la definició quadràtic inclou la condició que la part principal de $$q(x,y,z)$$ $$$q_2(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz$$$no és idènticament nul·la.

Un punt $$(a, b, c)$$ pertany a la quàdrica $$Q$$ si i només si $$Q (a, b, c) = 0$$. El punt es diu real si $$a, b, c$$ són reals i imaginari si alguna de les seves coordenades és complexa.

Noteu, que si $$(a, b, c)$$ és un punt imaginari pertanyent a la quàdrica, com $$q(x,y,z)$$ és un polinomi real, $$Q$$ conté al conjugat de $$(a, b, c)$$.

Si $$(x',y'.z')$$ és un altre sistema de coordenades rectangulars i $$$q(x',y',z')=a'x'^2+b'y'^2+c' z'^2+2f'x'y'+2g'x'z'+$$$ $$$+2h'y'z'+2p'x'+2q'y'+2r'z'+d'$$$ és un polinomi quadràtic real en (x',y',z'), direm que $$Q$$ coincideix amb $$Q'$$, o que les equacions $$q(x,y,z)=0$$ i $$q'(x',y',z')=0$$ defineixen la mateixa quàdrica, si i només si existeix un nombre real no nul $$K$$ tal que $$$q'(x',y',z')=Kq(x',y'z')$$$ on $$q'(x',y',z')=0$$ denota el polinomi en $$(x',y',z')$$ que s'obté substituint les coordenades $$(x,y,z)$$ del polinomi $$q(x,y,z)$$ per les expressions del canvi de coordenades $$(x',y',z')$$.

Matrius associades

Posem $$$A= \begin{bmatrix} a & f & g \\ f & b & h \\ g & h & c \end{bmatrix}$$$ i diem que és la matriu principal del polinomi $$q(x,y,z)$$.

Anàlogament, definim $$$\overline{A}=\begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega d \end{bmatrix}, \omega=(p,q,r)$$$ i diem que és la matriu del polinomi $$q(x,y,z)$$.

També diem que $$A$$ és la matriu inicial de $$\overline{A}$$. A aquestes dues matrius també se les anomena matriu de l'infinit i matriu projectiva de la cònica.

El coneixement d' $$A$$ equival al de la part principal de $$q(x,y,z)$$ (és a dir de $$q_2(x,y,z)$$), ja que $$$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z)^T $$$

Anàlogament, el coneixement d' $$\overline{A}$$ equival al coneixement de $$q(x,y,z)$$ ja que $$$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\overline{A}(x,y,z,1)^T$$$

Observem, però, que la quàdrica $$Q$$ només determina $$\overline{A}$$ excepte un factor real no nul.

A continuació, anem a donar dos resultats que ens permetran reduir l'equació general d'una quàdrica:

• Donat un polinomi $$q(X)=q(x,y,z)$$ en les coordenades $$X=(x,y,z)$$, amb matriu $$A$$ i matriu principal $$\overline{A}$$, el polinomi $$q(X')=q(x',y',z')$$ definit per la fórmula $$q(X')=q(X'M^t+P)$$ té matriu $$\overline{A}'=\overline{M}^T\overline{A}\overline{M}$$ i matriu principal $$A' = M^TAM$$.

  Tingueu en compte que en aquest resultat, es fa servir la notació $$X=(x,y,z)$$ per indicar que $$X$$ és el vector tridimensional que té per coordenades $$X$$. Aquesta notació la fem servir per estalviar escriptura.

• Donat un sistema de coordenades rectangulars $$X=(x,y,z)$$ i un polinomi quadràtic $$q(x,y,z)$$, existeix un sistema de coordenades rectangulars $$X'=(x',y',z')$$ tal que la part principal del polinomi $$q(x',y',z')$$ té la forma $$\lambda_1 x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$$ que anomenarem forma diagonal. A més,$$\lambda_1$$,$$\lambda_2$$ i $$\lambda_3$$ són valors propis reals de la matriu inicial de $$q(x,y,z)$$.