Exercicis de Invariants de les quàdriques i classificació euclidiana

Considerem la quàdrica $4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y + 16 x z + 24 y z + 2 x + 4 y + 6 z + 1 = 0$ . Classifiqueu-la.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

La matriu associada a l'equació de la quàdrica és: $\overset{―}{A} = [\begin{matrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 6 & 9 & 12 & 2 \\ 8 & 12 & 16 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{matrix}]$ Calculem, ara, els seus invariants euclidians. $d e t (x \cdot I - \overset{―}{A}) = x^{4} - 30 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x$ $d e t (x \cdot I - A) = x^{3} - 29 x^{2}$ Per tant, tenim que: ${\begin{cases} D_{4} = 0 \\ D_{3} = - 6 \\ D_{2} = 15 \\ D_{1} = 30 \end{cases}$ ${\begin{cases} d_{3} = 0 \\ d_{2} = 0 \\ d_{1} = 29 \end{cases}$

L'índex de la quàdrica és $0$ gràcies al fet que no es compleix $d_{1} \cdot d_{3} < 0$ ni $d_{2} < 0$ .

Solució:

Com que $D_{4} = 0, d_{3} = 0, d_{2} = 0, D_{3} = - 6$ , per l'algorisme de classificació tenim que es tracta d'un cilindre parabòlic.

Amagar desenvolupament i solució