Un cliente deposita $$25.000$$ € en una cuenta al $$6,5\%$$ nominal anual durante $$10$$ años. Si los intereses se acumulan cada mes en la cuenta, ¿cuál será el interés total conseguido al final del período?
Desarrollo:
Lo primero que hay que ver es que el período de liquidación es mensual, por lo que habrá que calcular el rédito mensual y la cantidad de períodos de liquidación que se producen en $$10$$ años.
Se comenzará con el rédito:
$$$(1+r_m)^12=1+r \Rightarrow 1+r_m=(1+r)^{\frac{1}{12}} \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow r_m=(1+r)^{\frac{1}{12}} -1$$$
Es decir, se compara que el rédito de $$12$$ meses ha de ser igual al rédito anual, y de ahí se despeja el rédito mensual, denominado $$r_m$$.
Ahora sólo hay que averiguarlo:
$$$r_m=(1+0,065)^{\frac{1}{12}} -1=1,065^{\frac{1}{12}} -1=1,0052-1=0,0052$$$
En lo referente a los períodos de liquidación, si en un año hay $$12$$ períodos, tantos como meses, en $$10$$ años habrá:
$$$10\cdot 12= 120$$$
Con estos dos datos calculados ya se puede aplicar la fórmula del interés compuesto:
$$$C_f=C(1+r_m)^t$$$
$$$C_f=25.000\cdot(1+0,0052)^{120}=25.000\cdot(1,0052)^{120}=25.000\cdot 1,863=46.575€$$$
Es decir, al cabo de los $$10$$ años el saldo de la cuenta habrá ascendido hasta los $$46.575$$ €.
Para saber qué fracción de ese dinero corresponde a los intereses sólo hay que restar la cantidad final y la inicial:
$$$46.575-25.000=21.575€$$$
De modo que el dinero casi se ha duplicado.
Solución:
$$21.575$$ €