Un client diposita $$25.000$$ € en un compte al $$6,5\%$$ nominal anual durant $$10$$ anys. Si els interessos s'acumulen cada mes en el compte, quin serà l'interès total aconseguit al final del període?
Desenvolupament:
El primer que cal veure és que el període de liquidació és mensual, de manera que caldrà calcular el rèdit mensual i la quantitat de períodes de liquidació que es produeixen en $$10$$ anys.
Es començarà amb el rèdit:
$$$(1+r_m)^12=1+r \Rightarrow 1+r_m=(1+r)^{\frac{1}{12}} \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow r_m=(1+r)^{\frac{1}{12}} -1$$$
És a dir, es compara que el rèdit de $$12$$ mesos ha de ser igual al rèdit anual, i d'aquí s'aclareix el rèdit mensual, denominat $$r_m$$.
Ara només cal esbrinar-lo:
$$$r_m=(1+0,065)^{\frac{1}{12}} -1=1,065^{\frac{1}{12}} -1=1,0052-1=0,0052$$$
Pel que fa als períodes de liquidació, si en un any hi ha $$12$$ períodes, tants com mesos, en $$10$$ anys hi haurà:
$$$10\cdot 12= 120$$$
Amb aquestes dues dades calculades ja es pot aplicar la fórmula de l'interès compost:
$$$C_f=C(1+r_m)^t$$$
$$$C_f=25.000\cdot(1+0,0052)^{120}=25.000\cdot(1,0052)^{120}=25.000\cdot 1,863=46.575€$$$
És a dir, al cap de $$10$$ anys el saldo del compte haurà ascendit fins als $$46.575$$ €.
Per saber quina part d'aquests diners correspon als interessos només cal restar la quantitat final i la inicial:
$$$46.575-25.000=21.575€$$$
De manera que els diners gairebé s'han duplicat.
Solució:
$$21.575$$ €