Interès compost

Comencem amb aquest exemple:

Un usuari diposita 3.000 € en un compte d'estalvi amb un interès del 6% anual però en lloc de retirar els interessos els manté en el dipòsit, de manera que passen a engrossir la quantitat invertida i generen així nous interessos.

Quants diners hi haurà en el compte al cap de 5 anys?

Si el període de liquidació és anual, és a dir el banc ingressa els interessos en el compte en finalitzar l'any, una opció és calcular l'interès simple aconseguit cada any i anar-lo acumulant al total.

Es denominarà I1 l'interès generat en el primer any:

Math input error

Si aquests 180 € d'interessos aconseguits en el primer any se sumen als 3.000 € inicials, a l'inici del segon any hi haurà 3.180 € en el compte, que serà la quantitat inicial per calcular l'interès simple d'aquest període:

Math input error

Amb el que al final del segon any s'hauran acumulat 3.180+190,8=3.370,8 €, que serà el capital inicial del tercer any:

Math input error

Capital acumulat Math input error

L'interès en el quart any serà:

Math input error

Capital acumulat Math input error

I, finalment, al final dels cinc anys el total del compte ascendirà a:

Math input error

Total acumulat =3787,43+227,25=4014,68

Una manera molt més ràpida de realitzar aquests càlculs és mitjançant la relació que defineix l'interès compost:

Cf=C(1+r)t

on Cf és el capital final, C és el capital inicial, r el rèdit (el tant per u de l'interès), i t és el temps.

En aplicar la relació a l'exemple s'obté:

Math input error

En aquest cas, aplicar la relació ha estat immediat perquè el rèdit i el temps coincideixen en que tots dos són anuals. No obstant això, aquest cas no sol ser el més freqüent.

Els bancs i les caixes d'estalvi manegen períodes de liquidació molt diversos: mensuals, trimestrals, semestrals, anuals, etc. I és clar, no és el mateix que els interessos engrosseixin el total invertit al mes següent que al cap d'un any. De manera que per a que la fórmula de l'interès compost sigui certa cal expressar el rèdit i el temps en funció del període de liquidació que utilitzi el banc.

Per exemple:

Un client ingressa 10.000 € en un compte amb un interès anual del 4,50%. Si els interessos es van acumulant en el compte cada trimestre, quina quantitat de diners hi haurà al cap de 5 anys? Quin haurà estat l'interès generat en aquest període?

El primer que cal fer és adonar-se que el període de liquidació és trimestral i que, per tant, el rèdit i el temps hauran d'expressar-se segons aquesta dada, és a dir, caldrà esbrinar el rèdit trimestral i el nombre de trimestres que hi ha en 5 anys.

Per trobar el rèdit trimestral, que es denominarà r(t), es pren l'expressió entre parèntesis de la fórmula de l'interès compost i s'ha de complir que:

(1+rt)4=(1+r)1

És a dir, el rèdit de quatre trimestres és igual al rèdit d'un any, ja que 1 any té 4 trimestres.

Sabent per l'enunciat que r=0,045, només cal aïllar r(t) per a conèixer aquesta dada. Per això primer cal passar l'exponent a l'altra banda de la igualtat:

1+rt=(1+r)14rt=(1+r)141

Es calcula el rèdit trimestral amb les dades que es tenen:

rt=(1+0,045)141=(1,045)141=1,0111=0,011

Ara només queda calcular quants períodes de liquidació trimestrals hi ha en 5 anys:

Si 1 any té 4 trimestres, 5 anys tindran:

45=20 trimestres

Amb les dades obtingudes ja es pot aplicar la fórmula de l'interès compost per calcular els diners acumulats al final del període:

Cf=C(1+rt)t

Cf=10.000(1+0,011)20=10.000(1,011)20= Math input error

Amb el que acabem de resoldre la primera pregunta de l'exercici. Per trobar la segona n'hi ha prou amb restar la quantitat final i la inicial, ja que la diferència entre ambdues seran els interessos aconseguits:

Math input error

Cal remarcar la importància de calcular el rèdit segons el període de liquidació de la manera en que s'ha realitzat a l'exercici per no emportar-nos sorpreses.

Per exemple, si un banc ofereix un dipòsit al 12% anual amb un període de liquidació semestral es podria pensar que el rèdit semestral serà:

Si ra=0,12rs=0,122=0,06

Com que en un any hi ha 2 períodes de liquidació semestrals, sembla lògic pensar que si l'interès anual és del 12%, el semestral serà del 6%, però en realitat no és del tot així.

Per demostrar-ho només cal calcular el rèdit semestral tal com s'ha mostrat en l'exercici anterior:

(1+rs)2=(1+r)11+rs=(1+r)12rs=(1+r)121

rs=(1+0,12)121=(1,12)121=1,05831=0,0583

És a dir, l'interès semestral no és del 6% com es podria pensar sinó que és del 5,83%.

Un últim exemple:

Una caixa d'estalvis va concedir un préstec de 120.000 € a una empresa. Al cap dels 8 anys acordats, la caixa va rebre un total de 20.599,13 € en concepte d'interessos, que es cobraven anualment. Quin era l'interès d'aquest préstec?

Es tracta d' aïllar el rèdit de la relació de l'interès compost i passar-lo a percentatge:

Cf=C(1+r)tCfC=(1+r)t(CfC)1t=1+r

r=(CfC)1t1

La quantitat final serà la inicial més els interessos generats:

Cf=120.000+20.599,13=140.599,13

Ara es pot calcular el rèdit amb la resta de dades de l'enunciat:

r=(140.599,13120.000)181=1,172181=1,021=0,02

De manera que l'interès del préstec era del 2%.