Interès simple

Anem a aprendre a resoldre problemes sobre interès simple, el qual apareix en les relacions dels clients amb els bancs i caixes d'estalvi.

Per exemple, si un banc afirma que ofereix un compte d'estalvi amb un interès del $6\mathrm{\%}$ anual, en teoria, i deixant de banda la lletra petita, el que vol dir és que per cada $100$ € dipositats en aquest compte el banc ofereix un benefici de $6$ €.

En aquest sentit, si es dipositen $3.000$ €, al cap d'un any els interessos pujaran a:

$${\displaystyle \frac{100}{6}}={\displaystyle \frac{3000}{x}}\Rightarrow 100x=3000\cdot 6\Rightarrow$$

$$\text{Math input error}$$

Al final de l'any hi haurà en el compte els $3.000$ € inicials més els $180$ € generats pels interessos, que sumen un total de $3.180$ €.

Què passaria si es deixen dipositats aquests $3.000$ € en el compte durant $5$ anys?

Si cada any es generen $180$ € d'interessos, en $5$ anys es generaran:

$$\text{Math input error}$$

Amb el que al final del període els $3.000$ € s'hauran convertit en $3.900$ €, és a dir, el capital inicial més els interessos.

Aquest és un típic problema d'interès simple, en què els interessos generats no se sumen a la quantitat total dipositada en el compte per a generar nous interessos.

Un exemple real seria tenir un compte d'estalvi i retirar els interessos cada vegada que es van generant, de manera que mai passen a engrossir la quantitat total invertida. De moment considerarem la retirada dels interessos com un fet i, per tant, no s'esmentarà.

Una manera ràpida de calcular l'interès simple que generarà una quantitat de diners en un període de temps determinat consisteix a aplicar la següent relació:

$$I=C\cdot {\displaystyle \frac{i}{100}}\cdot t$$

on $I$ és l'interès total generat, $C$ és la quantitat inicial dipositada, ${\displaystyle \frac{i}{100}}$ és el tant per u d'interès per unitat de temps, habitualment $1$ any, i $t$ és el temps transcorregut.

Habitualment, el tant per u d'interès és el que s'anomena rèdit i s'expressa com $r$, de manera que:

$${\displaystyle \frac{i}{100}}=r\Rightarrow I=C\cdot r\cdot t$$

En aplicar aquesta relació a l'exemple anterior s'obté directament l'interès generat al cap de qualsevol període de temps, per exemple $5$ anys:

$$\text{Math input error}$$

Si aquests mateixos $3.000$ € es deixessin en el compte $15$ anys al final l'interès generat seria:

$$\text{Math input error}$$

Amb el que al final del període en el compte hi hauria $$\text{Math input error}$$

Un altre cas típic de problema sobre interès simple és preguntar-se sobre el temps necessari per aconseguir una determinada quantitat. Per exemple:

Quant de temps haurà de passar perquè $20.000$ € dipositats en un compte al $5\mathrm{\%}$ anual es dupliquin?

Per resoldre aquest problema cal aïllar $t$ de la relació de l'interès simple:

$$I=C\cdot r\cdot t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{I}{C\cdot r}}$$

L'interès generat serà $20.000$ €, ja que es vol que la quantitat inicial es dupliqui, que també és de $20.000$ €, i el rèdit serà $0,05$. En substituir aquests valors en l'expressió s'obté:

$$t={\displaystyle \frac{20.000}{20.000\cdot 0,05}}={\displaystyle \frac{1}{0,05}}=20\text{anys}$$

També es pot saber quin és l'interès ideal per aconseguir uns objectius concrets. Per exemple:

Quin interès anual ha d'oferir un compte per tal que $6.000$ € es converteixin en $10.000$ € en un període de $10$ anys?

De nou, cal recórrer a la relació, però en aquest cas cal aïllar el rèdit:

$$I=C\cdot r\cdot t\Rightarrow r={\displaystyle \frac{I}{C\cdot t}}$$

Abans cal calcular quin és l'interès que s'haurà de generar en aquests $10$ anys:

$$\text{Math input error}$$

Per la qual cosa:

$$r={\displaystyle \frac{4.000}{6.000\cdot 10}}={\displaystyle \frac{4.000}{60.000}}=0,0666$$

En passar a tant per cent aquesta xifra correspon a un interès del:

$$0,0666\cdot 100=6,66\mathrm{\%}$$

Finalment, la relació de l'interès simple també és aplicable a l'àmbit dels préstecs, encara que en aquest cas en comptes d'un benefici l'interès suposa un cost. Per exemple:

Un client firma amb la seva oficina un préstec de $30.000$ € a un interès del $3,5\mathrm{\%}$ anual i a tornar en $10$ anys. Quina quantitat haurà retornat el client al banc en finalitzar el període?

Cal buscar els interessos generats per aquesta quantitat en aquest període de temps, de manera que:

$$\text{Math input error}$$

S'han generat $10.500$ € d'interessos durant aquests $10$ anys, de manera que el client haurà de retornar els $30.000$ € demanats més els interessos:

$$\text{Math input error}$$