Interés simple

Vamos a aprender a resolver problemas sobre interés simple, el cual aparece en las relaciones de los clientes con los bancos y cajas de ahorro.

Por ejemplo, si un banco afirma que ofrece una cuenta de ahorro con un interés del $6\mathrm{\%}$ anual, en teoría, y dejando a un lado la letra pequeña, lo que quiere decir es que por cada $100$ € depositados en dicha cuenta el banco ofrece un beneficio de $6$ €.

En este sentido, si se depositan $3.000$ €, al cabo de un año los intereses ascenderán a:

$${\displaystyle \frac{100}{6}}={\displaystyle \frac{3000}{x}}\Rightarrow 100x=3000\cdot 6\Rightarrow$$

$$\text{Math input error}$$

Al final del año habrá en la cuenta los $3.000$ € iniciales más los $180$ € generados por los intereses, que suman un total de $3.180$ €.

¿Qué pasaría si se dejan depositados esos $3.000$ € en la cuenta durante $5$ años?

Si cada año se generan $180$ € de intereses, en $5$ años se generarán:

$$\text{Math input error}$$

Con lo que al final del período los $3.000$ € se habrán convertido en $3.900$ €, es decir, el capital inicial más los intereses.

Este es un típico problema de interés simple, en los que los intereses generados no se suman a la cantidad total depositada en la cuenta para generar nuevos intereses.

Un ejemplo real sería tener una cuenta de ahorro y retirar los intereses cada vez que se van generando, de modo que nunca pasan a engrosar la cantidad total invertida. De momento vamos a considerar la retirada de los intereses como un hecho y, por tanto, no se mencionará.

Una manera rápida de calcular el interés simple que generará una cantidad de dinero en un período de tiempo determinado consiste en aplicar la siguiente relación:

$$I=C\cdot {\displaystyle \frac{i}{100}}\cdot t$$

donde $I$ es el interés total generado, $C$ es la cantidad inicial depositada, ${\displaystyle \frac{i}{100}}$ es el tanto por uno de interés por unidad de tiempo, habitualmente $1$ año, y $t$ es el tiempo transcurrido.

Habitualmente, el tanto por uno de interés es lo que se denomina rédito y se expresa como $r$, de modo que:

$${\displaystyle \frac{i}{100}}=r\Rightarrow I=C\cdot r\cdot t$$

Al aplicar dicha relación al ejemplo anterior se obtiene directamente el interés generado al cabo de cualquier período de tiempo, por ejemplo $5$ años:

$$\text{Math input error}$$

Si esos mismos $3.000$ € se dejaran en la cuenta $15$ años al final el interés generado sería:

$$\text{Math input error}$$

Con lo que al final del período en la cuenta habría $$\text{Math input error}$$

Otro caso típico de problema sobre interés simple es preguntar acerca del tiempo necesario para conseguir una determinada cantidad. Por ejemplo:

¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que $20.000$ € depositados en una cuenta al $5\mathrm{\%}$ anual se dupliquen?

Para resolverlo hay que despejar $t$ de la relación del interés simple:

$$I=C\cdot r\cdot t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{I}{C\cdot r}}$$

El interés generado será $20.000$ €, puesto que se quiere que la cantidad inicial se duplique, que también es de $20.000$ €, y el rédito será $0,05$. Al sustituir estos valores en la expresión se obtiene:

$$t={\displaystyle \frac{20.000}{20.000\cdot 0,05}}={\displaystyle \frac{1}{0,05}}=20\text{años}$$

También puede averiguarse cuál es el interés ideal para conseguir unos objetivos concretos. Por ejemplo:

¿Qué interés anual debe ofrecer una cuenta para que $6.000$ € se conviertan en $10.000$ € en un período de $10$ años?

De nuevo, hay que recurrir a la relación, pero en este caso hay que despejar el rédito:

$$I=C\cdot r\cdot t\Rightarrow r={\displaystyle \frac{I}{C\cdot t}}$$

Antes hay que calcular cual es el interés que se tendrá que generar en estos $10$ años:

$$\text{Math input error}$$

Por lo que:

$$r={\displaystyle \frac{4.000}{6.000\cdot 10}}={\displaystyle \frac{4.000}{60.000}}=0,0666$$

Al pasar a tanto por ciento esta cifra corresponde a un interés del:

$$0,0666\cdot 100=6,66\mathrm{\%}$$

Finalmente, la relación del interés simple también es aplicable al ámbito de los préstamos, aunque en este caso en vez de un beneficio el interés supone un coste. Por ejemplo:

Un cliente firma con su oficina un préstamo de $30.000$ € a un interés del $3,5\mathrm{\%}$ anual y a devolver en $10$ años.

¿Qué cantidad habrá devuelto el cliente al banco al finalizar el período?

Hay que buscar los intereses generados por dicha cantidad en ese período de tiempo, de modo que:

$$\text{Math input error}$$

Se han generado $10.500$ € de intereses durante estos $10$ años, de modo que el cliente tendrá que devolver los $30.000$ € solicitados más los intereses:

$$\text{Math input error}$$