Decir cuáles de los siguientes conjuntos son o no acotados:
a) $$A=\{x \ | \ x\leq3 \}$$
b) $$B=\{x \ | \ x \ \text{ es potencia positiva de } 2 \}$$
c) $$C=\{x \ | \ x=2 \text{ o bien } x=5 \}$$
d) $$D=\{x \ | \ 0 < x < 1 \}$$
e) $$\mathbb{N}$$
Además, escribir en forma de intervalos los conjuntos que admiten esa notación.
Desarrollo:
a) Obsérvese que $$A = (-\infty,3]$$ y por definición de acotación, un conjunto se dice acotado si el valor absoluto de todos sus elementos es menor o igual que un cierto número. En este caso, como el intervalo no tiene extremo inferior, no puede ser un conjunto acotado.
b) El conjunto $$B =\{x \ | \ x=2^k, \ k\in\mathbb{N}\}$$ y como $$k$$ puede ser cualquier número natural, el conjunto $$B$$ no es acotado.
c) $$C = \{2,5\}$$ y, por lo tanto, tomando $$M = 5$$, vemos que $$C$$ es un conjunto acotado dado que $$2,5 \leq 5$$.
d) El conjunto $$D$$ se puede rescribir en forma de intervalo, o sea, $$D = (0,1)$$. Además, es un conjunto cerrado porque tomando $$M = 1$$, se cumple que $$x\leq1 \ \forall x\in C$$.
e) El conjunto de los números naturales es no acotado porque no existe ningún número positivo tal que todos los naturales sean menores o iguales que dicho número.
Solución:
a) No acotado y se puede reescribir como $$A = (-\infty,3]$$.
b) No acotado.
c) Acotado.
d) Acotado y se puede reescribir como $$D = (0,1)$$.
e) No acotado.