Ejercicios de Introducción a los intervalos

Decir cuáles de los siguientes conjuntos son o no acotados:

a) $A = {x | x \leq 3}$

b) $B = {x | x es potencia positiva de 2}$

c) $C = {x | x = 2 o bien x = 5}$

d) $D = {x | 0 < x < 1}$

e) $N$

Además, escribir en forma de intervalos los conjuntos que admiten esa notación.

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

a) Obsérvese que $A = (- \infty, 3]$ y por definición de acotación, un conjunto se dice acotado si el valor absoluto de todos sus elementos es menor o igual que un cierto número. En este caso, como el intervalo no tiene extremo inferior, no puede ser un conjunto acotado.

b) El conjunto $B = {x | x = 2^{k}, k \in N}$ y como $k$ puede ser cualquier número natural, el conjunto $B$ no es acotado.

c) $C = {2, 5}$ y, por lo tanto, tomando $M = 5$ , vemos que $C$ es un conjunto acotado dado que $2, 5 \leq 5$ .

d) El conjunto $D$ se puede rescribir en forma de intervalo, o sea, $D = (0, 1)$ . Además, es un conjunto cerrado porque tomando $M = 1$ , se cumple que $x \leq 1 \forall x \in C$ .

e) El conjunto de los números naturales es no acotado porque no existe ningún número positivo tal que todos los naturales sean menores o iguales que dicho número.

Solución:

a) No acotado y se puede reescribir como $A = (- \infty, 3]$ .

b) No acotado.

c) Acotado.

d) Acotado y se puede reescribir como $D = (0, 1)$ .

e) No acotado.

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