Determinar el valor de $$A$$ que hace que el sistema sea incompatible $$$\left\{ \begin{array} {rcl} x+Ay+z & = & 1 \\ Ax+y+(A-1)z &=& A\\ x+y+z &=& A+1\end{array}\right.$$$
Desarrollo:
Lo primero es reescribir el sistema en forma matricial: $$$\begin{pmatrix} 1 & A & 1 & | & 1 \\ A & 1 & (A-1) & | & A \\ 1 & 1 & 1 & | & A+1 \end{pmatrix}$$$ Posteriormente utilizamos el método de Gauss $$$\begin{pmatrix} 1 & A & 1 & | & 1 \\ A & 1 & (A-1) & | & A \\ 1 & 1 & 1 & | & A+1 \end{pmatrix} \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f2-Af1 \\ f3-f1 \end{array} \right. \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & A & 1 & | & 1 \\ 0 & 1-A^2 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1-A & 0 & | & A \end{pmatrix} \rightarrow $$$ $$$ \rightarrow (c3 \leftrightarrow c2) \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & A & | & 1 \\ 0 & -1 & 1-A^2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1-A & | & A \end{pmatrix}$$$ Hemos obtenido: $$(1-A)y=A$$ *, entonces:
*Véase que al haber cambiado las columnas obtenemos la solución para $$y$$ y no para $$z$$.
Si $$A=1$$, tenemos un sistema incompatible.
Sino, el sistema es compatible, y tiene la siguiente solución:
$$y=\dfrac{A}{1-A}; \ z=(1+A)A; \ x=\dfrac{A^3-A^2-2A+1}{1-A}$$
Solución:
$$A=1$$