Ejercicios de Método de sustitución

Desarrollo:

Se empieza despejando $x$ en la primera ecuación: $${\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=12\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{2}}=12+{\displaystyle \frac{y}{3}}\Rightarrow x=2(12+{\displaystyle \frac{y}{3}})\Rightarrow x=24+{\displaystyle \frac{2y}{3}}$$

Ahora se puede sustituir la expresión en la segunda ecuación para conseguir una ecuación lineal con una incógnita, que se resuelve directamente: $${\displaystyle \frac{-2x}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{-2(24+{\displaystyle \frac{2y}{3}})}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{-48-{\displaystyle \frac{4y}{3}}}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow$$ $$-144-{\displaystyle \frac{12y}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow -{\displaystyle \frac{12y}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6+144\Rightarrow$$ $$-{\displaystyle \frac{24y}{6}}+{\displaystyle \frac{9y}{6}}=150\Rightarrow -{\displaystyle \frac{15y}{6}}=150\Rightarrow -15y=150\cdot 6\Rightarrow -15y=900\Rightarrow$$ $$y=-{\displaystyle \frac{900}{15}}=-60$$ Ahora que el valor de $y$ es conocido, se sustituye en la primera ecuación para saber el de $x$: $$x=24+{\displaystyle \frac{2y}{3}}=24+{\displaystyle \frac{2(-60)}{3}}=24+{\displaystyle \frac{-120}{3}}=24-40=-16$$

Solución:

$x=-16;y=-60$

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Desarrollo:

Antes que nada es bueno mirar si se pueden simplificar las ecuaciones. En el primer caso, hay que pasar todas las incógnitas a los primeros miembros de cada ecuación y operar cuando sea necesario: $$\begin{array}{c}2x+3y=21+4x\\ 8x-4y=6-2y\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}2x-4x+3y=21\\ 8x-4y+2y=6\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}-2x+3y=21\\ 8x-2y=6\end{array}\}$$

En la segunda ecuación se pueden dividir todos los términos entre $2$, lo que facilitará el despeje de $y$. Al hacerlo se obtiene $$\begin{array}{c}-2x+3y=21\\ 4x-y=3\end{array}\}$$

Se despeja $y$ de la segunda ecuación: $$-y=3-4x\Rightarrow y=4x-3$$

La expresión obtenida se sustituye en la primera ecuación: $$-2x+3(4x-3)=21\Rightarrow -2x+12x-9=21\Rightarrow 10x=21+9\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x={\displaystyle \frac{30}{10}}=3$$

Ahora sólo queda sustituir el valor de $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$4\cdot 3-y=3\Rightarrow 12-y=3\Rightarrow -y=3-12\Rightarrow -y=-9\Rightarrow y=9$$

Solución:

$x=3;y=9$

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