Ejercicios de Método de sustitución

Desarrollo:

Se empieza despejando $$x$$ en la primera ecuación: $$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=12 \Rightarrow \dfrac{x}{2}=12+\dfrac{y}{3} \Rightarrow x=2\Big(12+\dfrac{y}{3}\Big) \Rightarrow x=24+\dfrac{2y}{3}$$$

Ahora se puede sustituir la expresión en la segunda ecuación para conseguir una ecuación lineal con una incógnita, que se resuelve directamente: $$$\dfrac{-2x}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-2\Big(24+\dfrac{2y}{3}\Big)}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-48-\dfrac{4y}{3}}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow$$$ $$$-144-\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow -\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6+144 \Rightarrow$$$ $$$-\dfrac{24y}{6}+\dfrac{9y}{6}=150 \Rightarrow -\dfrac{15y}{6}=150 \Rightarrow -15y=150\cdot6 \Rightarrow -15y=900 \Rightarrow$$$ $$$y=-\dfrac{900}{15}=-60$$$ Ahora que el valor de $$y$$ es conocido, se sustituye en la primera ecuación para saber el de $$x$$: $$$x=24+\dfrac{2y}{3}=24+\dfrac{2(-60)}{3}=24+\dfrac{-120}{3}=24-40=-16$$$

Solución:

$$x=-16; y=-60$$

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Desarrollo:

Antes que nada es bueno mirar si se pueden simplificar las ecuaciones. En el primer caso, hay que pasar todas las incógnitas a los primeros miembros de cada ecuación y operar cuando sea necesario: $$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=21+4x \\ 8x-4y=6-2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} 2x-4x+3y=21 \\ 8x-4y+2y=6 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 8x-2y=6 \end{array} \right\} $$$

En la segunda ecuación se pueden dividir todos los términos entre $$2$$, lo que facilitará el despeje de $$y$$. Al hacerlo se obtiene $$$\left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 4x-y=3 \end{array} \right\} $$$

Se despeja $$y$$ de la segunda ecuación: $$$-y=3-4x \Rightarrow y=4x-3$$$

La expresión obtenida se sustituye en la primera ecuación: $$$-2x+3(4x-3)=21 \Rightarrow -2x+12x-9=21 \Rightarrow 10x=21+9 \Rightarrow$$$ $$$ \Rightarrow 10x=30 \Rightarrow x=\dfrac{30}{10}=3$$$

Ahora sólo queda sustituir el valor de $$x$$ en la segunda ecuación para hallar $$y$$: $$$4\cdot3-y=3 \Rightarrow 12-y=3 \Rightarrow -y=3-12 \Rightarrow -y=-9 \Rightarrow y=9$$$

Solución:

$$x=3; y=9$$

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