Exercicis de Mètode de substitució

Desenvolupament:

Primer de tot és bo mirar si es poden simplificar les equacions. En el primer cas, cal passar totes les incògnites als primers membres de cada equació i operar quan sigui necessari: $$\begin{array}{c}2x+3y=21+4x\\ 8x-4y=6-2y\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}2x-4x+3y=21\\ 8x-4y+2y=6\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}-2x+3y=21\\ 8x-2y=6\end{array}\}$$

En la segona equació es poden dividir tots els termes entre $2$, el que facilitarà aïllar $y$. En fer-ho s'obté: $$\begin{array}{c}-2x+3y=21\\ 4x-y=3\end{array}\}$$

S'aïlla $y$ de la segona equació: $$-y=3-4x\Rightarrow y=4x-3$$

L'expressió obtinguda se substitueix a la primera equació: $$-2x+3(4x-3)=21\Rightarrow -2x+12x-9=21\Rightarrow 10x=21+9\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x={\displaystyle \frac{30}{10}}=3$$

Ara només queda substituir el valor de $x$ en la segona equació per trobar $y$: $$4\cdot 3-y=3\Rightarrow 12-y=3\Rightarrow -y=3-12\Rightarrow -y=-9\Rightarrow y=9$$

Solució:

$x=3;y=9$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es comença aïllant $x$ en la primera equació: $${\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=12\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{2}}=12+{\displaystyle \frac{y}{3}}\Rightarrow x=2(12+{\displaystyle \frac{y}{3}})\Rightarrow x=24+{\displaystyle \frac{2y}{3}}$$

Ara es pot substituir l'expressió en la segona equació per aconseguir una equació lineal amb una incògnita, que es resol directament: $${\displaystyle \frac{-2x}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{-2(24+{\displaystyle \frac{2y}{3}})}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{-48-{\displaystyle \frac{4y}{3}}}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow$$ $$-144-{\displaystyle \frac{12y}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6\Rightarrow -{\displaystyle \frac{12y}{3}}+{\displaystyle \frac{3y}{2}}=6+144\Rightarrow$$ $$-{\displaystyle \frac{24y}{6}}+{\displaystyle \frac{9y}{6}}=150\Rightarrow -{\displaystyle \frac{15y}{6}}=150\Rightarrow -15y=150\cdot 6\Rightarrow -15y=900\Rightarrow$$ $$y=-{\displaystyle \frac{900}{15}}=-60$$ Ara que el valor de $y$ és conegut, es substitueix en la primera equació per saber el de $x$: $$x=24+{\displaystyle \frac{2y}{3}}=24+{\displaystyle \frac{2(-60)}{3}}=24+{\displaystyle \frac{-120}{3}}=24-40=-16$$

Solució:

$x=-16;y=-60$

Amagar desenvolupament i solució