Exercicis de Mètode de substitució

Desenvolupament:

Primer de tot és bo mirar si es poden simplificar les equacions. En el primer cas, cal passar totes les incògnites als primers membres de cada equació i operar quan sigui necessari: $$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=21+4x \\ 8x-4y=6-2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} 2x-4x+3y=21 \\ 8x-4y+2y=6 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 8x-2y=6 \end{array} \right\} $$$

En la segona equació es poden dividir tots els termes entre $$2$$, el que facilitarà aïllar $$y$$. En fer-ho s'obté: $$$\left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 4x-y=3 \end{array} \right\} $$$

S'aïlla $$y$$ de la segona equació: $$$-y=3-4x \Rightarrow y=4x-3$$$

L'expressió obtinguda se substitueix a la primera equació: $$$-2x+3(4x-3)=21 \Rightarrow -2x+12x-9=21 \Rightarrow 10x=21+9 \Rightarrow$$$ $$$ \Rightarrow 10x=30 \Rightarrow x=\dfrac{30}{10}=3$$$

Ara només queda substituir el valor de $$x$$ en la segona equació per trobar $$y$$: $$$4\cdot3-y=3 \Rightarrow 12-y=3 \Rightarrow -y=3-12 \Rightarrow -y=-9 \Rightarrow y=9$$$

Solució:

$$x=3; y=9$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es comença aïllant $$x$$ en la primera equació: $$$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=12 \Rightarrow \dfrac{x}{2}=12+\dfrac{y}{3} \Rightarrow x=2\Big(12+\dfrac{y}{3}\Big) \Rightarrow x=24+\dfrac{2y}{3}$$$

Ara es pot substituir l'expressió en la segona equació per aconseguir una equació lineal amb una incògnita, que es resol directament: $$$\dfrac{-2x}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-2\Big(24+\dfrac{2y}{3}\Big)}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-48-\dfrac{4y}{3}}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow$$$ $$$-144-\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow -\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6+144 \Rightarrow$$$ $$$-\dfrac{24y}{6}+\dfrac{9y}{6}=150 \Rightarrow -\dfrac{15y}{6}=150 \Rightarrow -15y=150\cdot6 \Rightarrow -15y=900 \Rightarrow$$$ $$$y=-\dfrac{900}{15}=-60$$$ Ara que el valor de $$y$$ és conegut, es substitueix en la primera equació per saber el de $$x$$: $$$x=24+\dfrac{2y}{3}=24+\dfrac{2(-60)}{3}=24+\dfrac{-120}{3}=24-40=-16$$$

Solució:

$$x=-16; y=-60$$

Amagar desenvolupament i solució