Mètode de substitució

La següent expressió és una equació lineal (no té exponents) amb dues incògnites, $x$ i $y$ : $x + y = 1$ .

Per trobar la solució cal que estigui associada a una altra equació que no sigui equivalent, de manera que s'obtingui un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites, com per exemple:

$\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x - y = 5 \end{matrix}}$

Quan una equació està associada a una altra que és el seu equivalent, com en el següent cas:

$\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x + 2 y = 2 \end{matrix}}$

Es té un sistema indeterminat, que no tractarem ara mateix.

Per resoldre sistemes d'equacions lineals hi ha tres mètodes diferents: el de substitució, el d'igualació i el de reducció. Aquí va el primer.

El mètode de substitució consisteix en aïllar la $x$ en una de les equacions, bàsicament en la que resulti més fàcil, i substituir l'expressió resultant en l'altra.

Exemple

En el següent cas, és fàcil aïllar la $x$ en la primera equació, ja que no té cap coeficient:

$\begin{matrix} x + y = 2 \\ - 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}}$

De manera que:

$\begin{matrix} x = 2 - y \\ - 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}}$

Ara es pot substituir la $x$ de la segona equació per l'expressió $x = 2 - y$ . I s'obté:

$\begin{matrix} x = 2 - y \\ - 2 (2 - y) - 3 y = 5 \end{matrix}}$

Amb això s'aconsegueix que la segona equació es converteixi en una equació lineal amb una incògnita, que es resol aïllant simplement la $y$ .

$- 2 (2 - y) - 3 y = 5 \Rightarrow - 4 + 2 y - 3 y = 5 \Rightarrow - y = 5 + 4 \Rightarrow - y = 9 \Rightarrow y = - 9$

Un cop trobat el valor de $y$ , l'únic que queda per fer és substituir a la primera equació per saber quin és el valor de $x$ :

$x = 2 - y \Rightarrow x = 2 - (- 9) \Rightarrow x = 2 + 9 = 11$

Els dos valors obtinguts $x = 11, y = - 9$ , són el resultat del sistema.

Per veure si el resultat és correcte es poden substituir els valors trobats per a les dues incògnites i comprovar si es compleixen les igualtats de les dues equacions:

$x + y = 2 \Rightarrow 11 - 9 = 2 \Rightarrow 2 = 2$

A la primera equació es compleix. Es comprova en la segona:

$- 2 x - 3 y = 5 \Rightarrow - 2 \cdot 11 - 3 \cdot (- 9) = 5 \Rightarrow - 22 + 27 = 5 \Rightarrow 5 = 5$

A la segona equació també es compleix la igualtat, de manera que la solució és correcta.

Exemple

$\begin{matrix} 2 x - 4 y = 8 \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Es poden seguir els mateixos passos que en l'exemple anterior, però abans cal veure si les equacions es poden simplificar.

En el cas de la primera equació $2 x - 4 y = 8$ , tots els termes són divisibles per $2$ , de manera que tota l'equació es pot dividir per aquesta xifra per simplificar. Al dividir entre $2$ queda:

$x - 2 y = 4$

Aquesta equació és totalment equivalent a l'altra, és a dir, té la mateixa solució, i és més fàcil aïllar $x$ , ja que ha deixat de tenir coeficient.

Es substitueix aquesta nova equació equivalent en lloc de la inicial i ja es pot començar a buscar la solució al sistema:

$\begin{matrix} x - 2 y = 4 \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Primer s'aïlla $x$ en la primera equació:

$\begin{matrix} x = 4 + 2 y \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Es substitueix l'expressió obtinguda en la segona equació i es troba $y$ :

$- 3 (4 + 2 y) + y = 3 \Rightarrow - 12 - 6 y + y = 3 \Rightarrow - 5 y = 3 + 12 \Rightarrow$

$\Rightarrow - 5 y = 15 \Rightarrow y = \frac{15}{- 5} = - 3$

Es substitueix el valor de $y$ en la primera equació per saber quin és el de $x$ :

$x = 4 + 2 (- 3) \Rightarrow x = 4 - 6 = - 2$

La solució al sistema és $x = - 2, y = - 3$ .

Es comprova que tot és correcte substituint en ambdues equacions els valors obtinguts:

$x - 2 y = 4 \Rightarrow - 2 - 2 (- 3) = 4 \Rightarrow - 2 + 6 = 4 \Rightarrow 4 = 4$

$- 3 x + y = 3 \Rightarrow - 3 (- 2) + (- 3) = 3 \Rightarrow 6 - 3 = 3 \Rightarrow 3 = 3$

En totes dues equacions es compleixen les igualtats, així que el resultat és vàlid.

Exemple

$\begin{matrix} x + 1 - y = - 2 \\ y + 1 = x - 4 \end{matrix}}$

El primer que cal fer és agrupar termes semblants, deixant les incògnites en el primer membre i els termes independents en el segon:

$\begin{matrix} x - y = - 2 - 1 \\ - x + y = - 4 - 1 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} x - y = - 3 \\ - x + y = - 5 \end{matrix}}$

Si s'aïlla $x$ en la primera equació s'obté que $x = y - 3$ . Es substitueix aquesta expressió en la segona equació:

$- (y - 3) + y = - 5 \Rightarrow - y + 3 + y = - 5 \Rightarrow - y + y = - 5 - 3 \Rightarrow 0 = - 8$

El sistema no sembla tenir solució. I de fet, no la té.

Quan això passa es diu que és un sistema incompatible: les incògnites s'anul·len i el sistema no té solució. En canvi, quan un sistema sí que té solució s'anomena sistema compatible.

En definitiva, els passos que cal seguir per resoldre un sistema pel mètode de substitució són:

Aïllar una de les incògnites d'una equació i substituir l'expressió resultant en l'altra, que es transforma en una equació lineal amb una incògnita.
Aïllar la incògnita d'aquesta equació lineal i substituir el seu valor en l'equació inicial per trobar el valor de l'altra incògnita.

També cal tenir en compte que per a plantejar un sistema d'equacions, sobretot si es pretén que els resultats siguin valors enters, el millor és partir de valors coneguts per les incògnites i plantejar equacions en les que les igualtats siguin certes.

Exemple

Si $x = 1$ , $y = - 1$ , les següents equacions són totes possibles, ja que es compleix la igualtat:

$x + y = 0$

$2 x - 2 y = 4$

$x + 3 (2 y - 1) = - 8$

De manera que un possible sistema seria prendre les dues primeres:

$\begin{matrix} x + y = 0 \\ 2 x - 2 y = 4 \end{matrix}}$