Mètode de reducció

Un mètode per resoldre sistemes d'equacions lineals és l'anomenat mètode de reducció, que consisteix en simplificar el sistema realitzant operacions aritmètiques entre les equacions.

Exemple

x+y=2x+y=4} Si a la segona equació s'hi suma la primera s'anul·la x, de manera que de seguida podem conèixer el valor de y. Es podria expressar l'operació de la següent manera: x+y=4+ x  +y= 2 0  +2y=2 L'equació resultant és equivalent a la segona, pel que pot intercanviar en el sistema inicial: x+y=22y=2} D'aquesta nova segona equació es dedueix immediatament que: 2y=2y=22=1 Amb una de les incògnites resoltes ja només cal substituir el seu valor en la primera equació per conèixer x: x+y=2x1=2x=2+1=3 De manera que la solució al sistema és x=3,y=1.

Per comprovar que els càlculs són correctes es poden substituir els valors en cadascuna de les equacions i veure que, efectivament, es compleixen les igualtats.

De vegades serà necessari multiplicar o dividir tota una equació per un determinat nombre per aconseguir anul·lar una de les incògnites d'una equació.

Exemple

x2+4y=32xy=4} Es podria multiplicar la segona equació per 4 i sumar-la a la primera, amb el que s'aconseguiria eliminar y, o dividir la primera equació entre 2 per després sumar-la a la segona. Millor aquesta última opció, ja que s'eliminen els denominadors:

[x2+4y=32]2x+8y=3

L'equació resultant és equivalent a la primera, així que es poden intercanviar en el sistema: x+8y=3xy=4} La suma de les dues equacions permet conèixer el valor de y directament:  x +8y=3+xy=4 0  +7y=1y=17 Ara es pot substituir aquest valor en la primera equació per trobar el de x: x=38yx=38(17)x=21+87=297 Després, la solució al sistema és x=297,y=17.

Recordatori:

El mètode de reducció o d'eliminació consisteix en realitzar operacions aritmètiques entre equacions per aconseguir equacions equivalents amb menys incògnites, més fàcils d'aïllar i calcular. Cal recordar que si es sumen, resten, multipliquen o divideixen tots els termes d'una equació amb un mateix número (diferent de 0) s'obté una equació equivalent.