Método de reducción

Ejemplo

$$\begin{array}{c}x+y=2\\ -x+y=-4\end{array}\}$$ Si a la segunda ecuación se le suma la primera se anula la $x$, con lo que enseguida podemos conocer el valor de $y$. Se podría expresar la operación de la siguiente forma: $$\begin{array}{rcl}& & -x+y=-4\\ & +& \underset{―}{x+y=2}\\ & & 0+2y=2\end{array}$$ La ecuación resultante es equivalente a la segunda, por lo que puede intercambiarse en el sistema inicial: $$\begin{array}{c}x+y=2\\ 2y=-2\end{array}\}$$ De esta nueva segunda ecuación se deduce inmediatamente que: $$2y=-2\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{2}}=-1$$ Con una de las incógnitas resueltas ya sólo hay que sustituir su valor en la primera ecuación para conocer $x$: $$x+y=2\Rightarrow x-1=2\Rightarrow x=2+1=3$$ De modo que la solución al sistema es $x=3,y=-1$.

Ejemplo

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{2}}+4y={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -x-y=-4\end{array}\}$$ Se podría multiplicar la segunda ecuación por $4$ y sumarla a la primera, con lo que se conseguiría eliminar $y$, o dividir la primera ecuación entre $2$ para luego sumarla a la segunda. Mejor esta última opción, puesto que se eliminan los denominadores:

$$[{\displaystyle \frac{x}{2}}+4y={\displaystyle \frac{3}{2}}]\cdot 2\Rightarrow x+8y=3$$

La ecuación resultante es equivalente a la primera, así que se pueden intercambiar en el sistema: $$\begin{array}{c}x+8y=3\\ -x-y=-4\end{array}\}$$ La suma de ambas ecuaciones permite conocer el valor de y directamente: $$\begin{array}{rcl}& & x+8y=3\\ & +& \underset{―}{-x-y=-4}\\ & & 0+7y=-1\end{array}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$$ Ahora se puede sustituir este valor en la primera ecuación para hallar el de $x$: $$x=3-8y\Rightarrow x=3-8\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{7}})\Rightarrow x={\displaystyle \frac{21+8}{7}}={\displaystyle \frac{29}{7}}$$ Luego, la solución al sistema es $x={\displaystyle \frac{29}{7}},y=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$.