El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.
$$$\left.\begin{array}{c} x+y=3 \\ x-y=-1 \end{array} \right\}$$$
Si se despeja $$x$$ en ambas se tiene que:
$$$\left.\begin{array}{c} x=3-y \\ x=-1+y \end{array} \right\}$$$
Este sistema es equivalente al primero, puesto que sólo han cambiado de posición algunos términos. Lo importante es que como el valor de $$x$$ ha de ser el mismo en ambas ecuaciones se pueden igualar las expresiones obtenidas, de modo que:
$$$3-y=-1+y$$$
Que es una ecuación lineal con una incógnita cuyo valor se puede averiguar rápidamente
$$$-y-y=-1-3 \Rightarrow -2y=-4 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{-2}=2$$$
Para hallar el valor de $$x$$ sólo hay que sustituir el valor de $$y$$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Si se usa la primera:
$$$x=3-y \Rightarrow x=3-2=1$$$
De modo que la solución a este sistema es $$x=1, y=2$$.
En ocasiones resultará más fácil operar algunos de los miembros de las ecuaciones antes de despejar las incógnitas.
$$$\left.\begin{array}{c} 2(x-1)+3(y+2)=-3 \\ x+5-2y=1-2x \end{array} \right\}$$$
En la primera ecuación hay que deshacerse primero de los paréntesis, para luego dejar las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo:
$$$2x-2+3y+6=-3 \Rightarrow 2x+3y=-3+2-6 \Rightarrow 2x+3y=-7$$$
También hay que operar en la segunda ecuación para separar las incógnitas de los términos independientes:
$$$x-2y+2x=1-5 \Rightarrow 3x-2y=-4$$$
Con las dos ecuaciones obtenidas se plantea un sistema totalmente equivalente al primero:
$$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=-7 \\ 3x-2y=-4 \end{array} \right\}$$$
Ahora ya se puede despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, por ejemplo, la $$x$$:
$$$\left.\begin{array}{c} 2x=-7-3y \\ 3x=-4+2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=\dfrac{-7-3y}{2} \\ x=\dfrac{-4+2y}{3} \end{array} \right\} $$$
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación:
$$$\dfrac{-7-3y}{2}=\dfrac{-4+2y}{3} \Rightarrow 3(-7-3y)=2(-4+2y) \Rightarrow $$$
$$$\Rightarrow -21-9y=-8+4y \Rightarrow -9y-4y=-8+21 \Rightarrow -13y=13 \Rightarrow \\ y=-\dfrac{13}{13}=-1$$$
Sólo queda sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, en la segunda:
$$$x=\dfrac{-4+2(-1)}{3}=\dfrac{-4-2}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2$$$
De modo que la solución a este sistema es $$x=-2, y=-1$$.
En resumen, los pasos a seguir para aplicar el método de igualación al resolver un sistema son:
- Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
- Igualar las expresiones obtenidas, con lo que se consigue una ecuación con una incógnita que se resuelve fácilmente.
- Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la incógnita que falta.