Ejercicios de Método de igualación

Desarrollo:

Antes de aplicar el método de igualación hay que operar las ecuaciones para obtener ecuaciones equivalentes con las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo. En el primer caso: $$$3x-2(3y+5)-10=7 \Rightarrow 3x-6y-10-10=7 \Rightarrow 3x-6y=7+10+10 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow 3x-6y=27$$$ Además, en esta ecuación se pueden dividir todos los términos entre 3, de modo que $$ \dfrac{3x-6y=27}{3} \Rightarrow x-2y=9$$.

Se simplifica la segunda ecuación del sistema: $$$4(x-3)+2y=-3+y \Rightarrow 4x-12+2y-y=-3 \Rightarrow 4x+y=-3+12 \Rightarrow 4x+y=9$$$ Con ambas ecuaciones simplificadas se plantea un sistema equivalente al inicial y se aplica el método de igualación: $$$\left.\begin{array}{c} x-2y=9 \\ 4x+y=9 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=9+2y \\ 4x=9-y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=9+2y \\ x=\dfrac{9-y}{4} \end{array} \right\}$$$

Se igualan las expresiones y se halla $$y$$: $$$9+2y=\dfrac{9-y}{4} \Rightarrow 4(9+2y)=9-y \Rightarrow 36+8y=9-y \Rightarrow 8y+y=9-36 \Rightarrow$$$ $$$9y=-27 \Rightarrow y=\dfrac{-27}{9}=-3$$$

Se sustituye el valor de $$y$$ en la primera ecuación para calcular el de $$x$$: $$$x=9+2y \Rightarrow x=9+2(-3)=9-6=3$$$

Solución:

$$x=3; y=-3$$

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

Ahora hay que tener algo de soltura operando con fracciones, pero primero hay que agrupar términos similares:

$$\left.\begin{array}{c} x+\dfrac{y}{3}=3 \\ \dfrac{x}{2}-y=-2 \end{array} \right\}$$

Ahora se pueden eliminar las fracciones. Para ello hay que multiplicar la primera ecuación por $$3$$ y la segunda por $$2$$:

$$\left.\begin{array}{c} 3\cdot\Big[x+\dfrac{y}{3}=3\Big] \\ 2\cdot\Big[\dfrac{x}{2}-y=-2\Big] \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} 3x+y=9 \\ x-2y=-4 \end{array} \right\} $$

Este sistema es totalmente equivalente al primero.

Si se despeja $$x$$ de la primera ecuación se obtiene: $$$3x=9-y \Rightarrow x=\dfrac{9-y}{3}=3-\dfrac{y}{3}$$$ Si se despeja la misma incógnita en la segunda ecuación se consigue: $$$x=2y-4$$$ Ahora se pueden igualar ambas expresiones y se resuelve la ecuación resultante: $$$3-\dfrac{y}{3}=2y-4 \Rightarrow -\dfrac{y}{3}-2y=-4-3 \Rightarrow \dfrac{-y-6y}{3}=-7 \Rightarrow -7y=-21 \Rightarrow y=\dfrac{-21}{-7}=3$$$ Se sustituye el valor de $$y$$ en la segunda ecuación para calcular el de $$x$$: $$$x=2\cdot(3)-4=6-4=2$$$

Solución:

$$x=2; y=3$$

Ocultar desarrollo y solución