Ejercicios de Método de igualación

Desarrollo:

Antes de aplicar el método de igualación hay que operar las ecuaciones para obtener ecuaciones equivalentes con las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo. En el primer caso: $$3x-2(3y+5)-10=7\Rightarrow 3x-6y-10-10=7\Rightarrow 3x-6y=7+10+10\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3x-6y=27$$ Además, en esta ecuación se pueden dividir todos los términos entre 3, de modo que ${\displaystyle \frac{3x-6y=27}{3}}\Rightarrow x-2y=9$.

Se simplifica la segunda ecuación del sistema: $$4(x-3)+2y=-3+y\Rightarrow 4x-12+2y-y=-3\Rightarrow 4x+y=-3+12\Rightarrow 4x+y=9$$ Con ambas ecuaciones simplificadas se plantea un sistema equivalente al inicial y se aplica el método de igualación: $$\begin{array}{c}x-2y=9\\ 4x+y=9\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}x=9+2y\\ 4x=9-y\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}x=9+2y\\ x={\displaystyle \frac{9-y}{4}}\end{array}\}$$

Se igualan las expresiones y se halla $y$: $$9+2y={\displaystyle \frac{9-y}{4}}\Rightarrow 4(9+2y)=9-y\Rightarrow 36+8y=9-y\Rightarrow 8y+y=9-36\Rightarrow$$ $$9y=-27\Rightarrow y={\displaystyle \frac{-27}{9}}=-3$$

Se sustituye el valor de $y$ en la primera ecuación para calcular el de $x$: $$x=9+2y\Rightarrow x=9+2(-3)=9-6=3$$

Solución:

$x=3;y=-3$

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Desarrollo:

Ahora hay que tener algo de soltura operando con fracciones, pero primero hay que agrupar términos similares:

$\begin{array}{c}x+{\displaystyle \frac{y}{3}}=3\\ {\displaystyle \frac{x}{2}}-y=-2\end{array}\}$

Ahora se pueden eliminar las fracciones. Para ello hay que multiplicar la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$:

$\begin{array}{c}3\cdot [x+{\displaystyle \frac{y}{3}}=3]\\ 2\cdot [{\displaystyle \frac{x}{2}}-y=-2]\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}3x+y=9\\ x-2y=-4\end{array}\}$

Este sistema es totalmente equivalente al primero.

Si se despeja $x$ de la primera ecuación se obtiene: $$3x=9-y\Rightarrow x={\displaystyle \frac{9-y}{3}}=3-{\displaystyle \frac{y}{3}}$$ Si se despeja la misma incógnita en la segunda ecuación se consigue: $$x=2y-4$$ Ahora se pueden igualar ambas expresiones y se resuelve la ecuación resultante: $$3-{\displaystyle \frac{y}{3}}=2y-4\Rightarrow -{\displaystyle \frac{y}{3}}-2y=-4-3\Rightarrow {\displaystyle \frac{-y-6y}{3}}=-7\Rightarrow -7y=-21\Rightarrow y={\displaystyle \frac{-21}{-7}}=3$$ Se sustituye el valor de $y$ en la segunda ecuación para calcular el de $x$: $$x=2\cdot (3)-4=6-4=2$$

Solución:

$x=2;y=3$

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