Exercicis de Mètode d'igualació

Resol el següent sistema pel mètode d'igualació:

$\begin{matrix} 3 x - 2 (3 y + 5) - 10 = 7 \\ 4 (x - 3) + 2 y = - 3 + y \end{matrix}}$

Desenvolupament:

Abans d'aplicar el mètode d'igualació cal operar les equacions per a obtenir equacions equivalents amb les incògnites en el primer membre i els termes independents en el segon. En el primer cas: $3 x - 2 (3 y + 5) - 10 = 7 \Rightarrow 3 x - 6 y - 10 - 10 = 7 \Rightarrow 3 x - 6 y = 7 + 10 + 10 \Rightarrow$ $\Rightarrow 3 x - 6 y = 27$ A més, en aquesta equació es poden dividir tots els termes entre $3$ , de manera que $\frac{3 x - 6 y = 27}{3} \Rightarrow x - 2 y = 9$ .

Es simplifica la segona equació del sistema: $4 (x - 3) + 2 y = - 3 + y \Rightarrow 4 x - 12 + 2 y - y = - 3 \Rightarrow 4 x + y = - 3 + 12 \Rightarrow 4 x + y = 9$ Amb totes dues equacions simplificades es planteja un sistema equivalent a l'inicial i s'aplica el mètode d'igualació: $\begin{matrix} x - 2 y = 9 \\ 4 x + y = 9 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} x = 9 + 2 y \\ 4 x = 9 - y \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} x = 9 + 2 y \\ x = \frac{9 - y}{4} \end{matrix}}$

S'igualen les expressions i es troba $y$ : $9 + 2 y = \frac{9 - y}{4} \Rightarrow 4 (9 + 2 y) = 9 - y \Rightarrow 36 + 8 y = 9 - y \Rightarrow 8 y + y = 9 - 36 \Rightarrow$ $9 y = - 27 \Rightarrow y = \frac{- 27}{9} = - 3$

Es substitueix el valor de $y$ en la primera equació per calcular el de $x$ : $x = 9 + 2 y \Rightarrow x = 9 + 2 (- 3) = 9 - 6 = 3$

Solució:

$x = 3; y = - 3$

Amagar desenvolupament i solució

Resol el següent sistema pel mètode d'igualació:

$\begin{matrix} x - 1 = 2 - \frac{y}{3} \\ 1 - y = - 1 - \frac{x}{2} \end{matrix}}$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Ara cal tenir una mica de desimboltura operant amb fraccions, però primer cal agrupar termes semblants:

$\begin{matrix} x + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{x}{2} - y = - 2 \end{matrix}}$

Ara es poden eliminar les fraccions. Per a això cal multiplicar la primera equació per $3$ i la segona per $2$ :

$\begin{matrix} 3 \cdot [x + \frac{y}{3} = 3] \\ 2 \cdot [\frac{x}{2} - y = - 2] \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} 3 x + y = 9 \\ x - 2 y = - 4 \end{matrix}}$

Aquest sistema és totalment equivalent al primer.

Si s'aïlla $x$ de la primera equació s'obté: $3 x = 9 - y \Rightarrow x = \frac{9 - y}{3} = 3 - \frac{y}{3}$ Si s'aïlla la mateixa incògnita en la segona equació s'aconsegueix: $x = 2 y - 4$ Ara es poden igualar les dues expressions i es resol l'equació resultant: $3 - \frac{y}{3} = 2 y - 4 \Rightarrow - \frac{y}{3} - 2 y = - 4 - 3 \Rightarrow \frac{- y - 6 y}{3} = - 7 \Rightarrow - 7 y = - 21 \Rightarrow y = \frac{- 21}{- 7} = 3$ Es substitueix el valor de $y$ en la segona equació per calcular el de $x$ : $x = 2 \cdot (3) - 4 = 6 - 4 = 2$

Solució:

$x = 2; y = 3$

Amagar desenvolupament i solució