Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas: $$$\Big(\dfrac{x-1}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\Big)\cdot\dfrac{x+1}{x-1}$$$
Desarrollo:
Primeramente, realizaremos la resta. Para ello, tenemos que conseguir común denominador:
$$mcm\{x^2-4,x-2\}=mcm\{(x-2)\cdot(x+2),x-2\}=(x-2)\cdot(x+2)$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x+2)}{(x-2)\cdot(x+2)}=1 \Rightarrow 1\cdot(x-1)=x-1 \Rightarrow \dfrac{x-1}{(x-2)(x+2)}$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x+2)}{x-2}=x+2 \Rightarrow (x+2)\cdot1=x+2 \Rightarrow \dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}$$
Ahora ya podemos realizar la resta:
$$\dfrac{x-1}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=$$
$$=\dfrac{-3}{(x-2)(x+2)}$$
Con este resultado, completamos la operación que se nos requería:
$$\dfrac{-3}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{-3\cdot(x+1)}{(x-2)(x+2)(x-1)}=\dfrac{-3x-3}{(x^2-4)(x-1)}=$$
$$=\dfrac{-3x-3}{x^2\cdot(x-1)-4\cdot(x-1)}=\dfrac{-3x-3}{x^3-x^2-4x+4}$$
Solución:
El resultado de la operación es $$\dfrac{-3x-3}{x^3-x^2-4x+4}$$