Suma y resta
Para realizar la suma o resta de fracciones algebraicas, primero tenemos que realizar de transformar las fracciones a común denominador, y posteriormente efectuar la suma o resta como si fuera una fracción.
El denominador será el mismo que tienen ambas, y el numerador de la suma o resta será la suma o resta de numeradores.
Realizar la suma de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x-1}{x+4} \ \mbox{y} \ \dfrac{x^2+2}{x+4}$$
En este caso, ambas fracciones tienen el mismo denominador, por lo que podemos proceder directamente a operar: $$$\dfrac{x-1}{x+4}+\dfrac{x^2+2}{x+4}=\dfrac{x-1+(x^2+2)}{x+4}=\dfrac{x^2+x+1}{x+4}$$$
Realizar la resta de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x^2+1}{x-2} \ \mbox{y} \ \dfrac{x+1}{x-1}$$
Primero, tenemos que transformar las fracciones algebraicas a fracciones con común denominador:
$$mcm\{x-2,x-1\}=(x-2)\cdot(x-1)$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x-1)}{(x-2)}=x-1 \Rightarrow (x-1)\cdot(x^2+1)=x\cdot(x^2+1)-1\cdot(x^2+1)=$$
$$=x^3-x^2+x-1 \Rightarrow \dfrac{x^3-x^2+x-1}{(x-2)\cdot(x-1)}$$
$$\dfrac{(x-2)\cdot(x-1)}{(x-1)}=x-2 \Rightarrow (x-1)\cdot(x+1)=x^2-1 \Rightarrow \dfrac{x^2-1}{(x-2)\cdot(x-1)}$$
Ahora procedemos a operar:
$$\dfrac{x^3-x^2+x-1}{(x-2)(x-1)}+\dfrac{x^2-1}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{x^3-x^2+x-1+(x^2-1)}{(x-2)(x-1)}=$$
$$=\dfrac{x^3+x-2}{(x-2)(x-1)}$$
Realizar la resta de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x-2}{x+3} \ \mbox{y} \ \dfrac{x-1}{(x+1)^2}$$
Primero, tenemos que transformar las fracciones algebraicas a fracciones con común denominador:
$$mcm\{x+3,(x+1)^2\}=(x+3)\cdot(x+1)^2$$
$$\dfrac{(x+3)\cdot(x+1)^2}{x+3}=(x+1)^2 \Rightarrow (x-2)\cdot(x+1)^2=x\cdot(x+1)^2+1\cdot(x+1)^2=$$
$$=x\cdot(x^2+2x+1)+1\cdot(x^2+2x+1)=x^3+3x^2+3x+1 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{(x+3)\cdot(x+1)^2}$$
$$\dfrac{(x+3)\cdot(x+1)^2}{(x+1)^2}=x+3 \Rightarrow (x-1)\cdot(x+3)=x^2+2x-3 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{x^2+2x-3}{(x+3)\cdot(x+1)^2}$$
Ahora procedemos a operar:
$$\dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{(x+3)(x+1)^2}-\dfrac{x^2+2x-3}{(x+3)(x+1)^2}=\dfrac{x^3+3x^2+3x+1-(x^2+2x-3)}{(x+3)(x+1)^2}=$$
$$=\dfrac{x^3+2x^2-x+4}{(x+3)(x+1)^2}$$
Producto
Para realizar el producto de dos fracciones algebraicas, el numerador del producto será el producto de numeradores y el denominador del producto será el producto de denominadores.
Realizar el producto de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x-1}{x+4}$$ y $$\dfrac{x^2+2}{x-2}$$.
Multiplicamos numeradores y denominadores, y obtenemos el resultado deseado:
$$\dfrac{x-1}{x+4}\cdot\dfrac{x^2+2}{x-2}=\dfrac{(x-1)\cdot(x^2+2)}{(x+4)\cdot(x-2)}=\dfrac{x\cdot(x^2+2)-1\cdot(x^2+2)}{x\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)}=$$
$$=\dfrac{x^3-x^2+2x-2}{x^2+2x-8}$$
Realizar el producto de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x+5}{x}$$ y $$\dfrac{x^2-1}{x+3}$$.
Multiplicamos numeradores y denominadores, y obtenemos el resultado deseado:
$$\dfrac{x+5}{x}\cdot\dfrac{x^2-1}{x+3}=\dfrac{(x+5)\cdot(x^2-1)}{x\cdot(x+3)}=\dfrac{x\cdot(x^2-1)+5\cdot(x^2-1)}{x\cdot(x+3)}=$$
$$=\dfrac{x^3+5x^2-x-5}{x^2+3x}$$
División
Para realizar la división de dos fracciones algebraicas, basta multiplicar la fracción algebraica del dividendo por la fracción algebraica del denominador invertida, esto es, el numerador en lugar del denominador, y viceversa.
Realizar la división de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x-1}{x+4}$$ y $$\dfrac{x^2+2}{x-2}$$.
Multiplicamos la primera fracción por la segunda invertida, y obtenemos el resultado deseado:
$$\dfrac{x-1}{x+4}\cdot\dfrac{x-2}{x^2+2}=\dfrac{(x-1)\cdot(x-2)}{(x+4)\cdot(x^2+2)}=\dfrac{x\cdot(x-2)-1\cdot(x-2)}{x\cdot(x^2+2)+4\cdot(x^2+2)}=$$
$$=\dfrac{x^2-3x+2}{x^3+4x^2+2x+8}$$
Realizar la división de las siguientes fracciones algebraicas $$\dfrac{x+5}{x}$$ y $$\dfrac{x^2-1}{x+3}$$.
Multiplicamos la primera fracción por la segunda invertida, y obtenemos el resultado deseado:
$$\dfrac{x+5}{x}\cdot\dfrac{x+3}{x^2-1}=\dfrac{(x+5)\cdot(x+3)}{x\cdot(x^2-1)}=\dfrac{x\cdot(x+3)+5\cdot(x+3)}{x\cdot(x^2-1)}=$$
$$=\dfrac{x^2+8x+15}{x^3-x}$$