Simplificación de fracciones algebraicas
Dada una fracción algebraica, si el numerador y el denominador tienen algún factor en común, éste se puede simplificar. El resultado puede ser una fracción algebraica equivalente, o un polinomio.
Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$$ Factorizamos el numerador y el denominador:
$$x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$$
$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$
Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:
$$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1}$$$ Y el resultado es una fracción algebraica.
Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$$$ Factorizamos el numerador y el denominador:
$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$
$$x-2$$
Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:
$$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$$$ Y el resultado es un polinomio.
Amplificación de fracciones algebraicas
Como en una fracción, siempre podemos multiplicar el numerador y el denominador por un polinomio cualquiera. Esta estrategia se llama amplificación o expansión y puede ser útil en algunas ocasiones.
Expandir la siguiente fracción algebraica $$\dfrac{x-1}{x+2}$$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $$x=-1$$ en el denominador.
Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $$x+1$$ tanto en el numerador como en el denominador: $$$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}$$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $$$\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{x^2-1}{x\cdot(x+1)+2\cdot(x+1)}=$$$
$$$=\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2}$$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.
Expandir la siguiente fracción algebraica $$\dfrac{x+2}{x-2}$$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $$x=3$$ en el denominador.
Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $$x-3$$ tanto en el numerador como en el denominador: $$$\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}$$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $$$\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x\cdot(x-3)+2\cdot(x-3) }{x\cdot(x-3)-2\cdot(x-3)}=$$$
$$$=\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}$$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.