Simplificación y amplificación de fracciones algebraicas

Ejemplo

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}$$ Factorizamos el numerador y el denominador:

$x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$

$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$

Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:

$${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$$ Y el resultado es una fracción algebraica.

Ejemplo

Simplificar la siguiente fracción algebraica y concluir si es un polinomio o una fracción algebraica. $${\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x-2}}$$ Factorizamos el numerador y el denominador:

$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$

$x-2$

Vemos que el numerador y el denominador tienen un factor común, por lo tanto:

$${\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x-2}}={\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{x-2}}=x-2$$ Y el resultado es un polinomio.

Ejemplo

Expandir la siguiente fracción algebraica ${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $x=-1$ en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x+1$ tanto en el numerador como en el denominador: $${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}={\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}\cdot {\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{x\cdot (x+1)+2\cdot (x+1)}}=$$

$$={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}}$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.

Ejemplo

Expandir la siguiente fracción algebraica ${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$ del tal manera que tenga un polinomio con raíz $x=3$ en el denominador.

Basta multiplicar la fracción algebraica por la expresión $x-3$ tanto en el numerador como en el denominador: $${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-3}{x-3}}$$ Ahora si se desea se pueden expandir los polinomios: $${\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-3}{x-3}}={\displaystyle \frac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{x\cdot (x-3)+2\cdot (x-3)}{x\cdot (x-3)-2\cdot (x-3)}}=$$

$$={\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}}$$ El resultado es una fracción algebraica equivalente a la inicial.