Como en las fracciones, para operar con fracciones algebraicas es interesante que tengan el mismo polinomio en el denominador. Así pues, el proceso de reducción de fracciones algebraicas a común denominador consiste en, dados dos pares de fracciones algebraicas, encontrar dos pares de fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.
Para ello, existen un procedimiento, que analizaremos mediante un ejemplo:
Dadas las fracciones algebraicas $$\dfrac{1}{x^2-1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x+2}{x-2}$$, encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.
El procedimiento se puede separar en tres fases:
1) Factorizar los polinomios del denominador de ambas fracciones:
En nuestro caso:
$$x^2-1=(x-1)\cdot(x+1)$$
$$x-2$$
2) Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios denominadores. Recordemos que para calcular el m.c.m. sólo hace faltar juntar todos los polinomios diferentes que configuran la descomposición factorizada. En caso que haya términos iguales, coger el de mayor exponente.
En nuestro caso:
$$mcm\{x^2-1,x-2\}=mcm\{(x-1)\cdot(x+1),x-2\}=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)$$
3) Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}{(x-1)\cdot(x+1)}=x-2 \Rightarrow 1\cdot(x-2)=x-2 \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x-2}{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}$$
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}{x-2}=(x-1)(x+1) \Rightarrow (x+2)(x-1)(x+1) \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{(x+2)\cdot(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-2)}$$
Como vemos, ahora tenemos dos fracciones equivalentes a las primeras que disponen de común denominador.
Dadas las fracciones algebraicas $$\dfrac{3x}{x^2-9} \ \mbox{y} \ \dfrac{2x-1}{x+3}$$, encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.
1) Factorizar los polinomios del denominador de ambas fracciones:
$$x^2-9=(x-3)\cdot(x+3)$$
$$x+3$$
2) Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios denominadores.
$$mcm\{x^2-9,x+3\}=mcm\{(x-3)\cdot(x+3),x+3\}=(x-3)\cdot(x+3)$$
3) Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.
$$\dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{(x-3)\cdot(x+3)}=1 \Rightarrow 1\cdot3x=3x \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{3x}{(x-3)\cdot(x+3)}$$
$$\dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{(x+3)}=(x-3) \Rightarrow (2x-1)\cdot(x+3)=2x\cdot(x+3)-1\cdot(x+3)=$$
$$=2x^2+5x-3 \Rightarrow \dfrac{2x^2+5x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}$$
Y ya tenemos dos fracciones equivalentes a las primeras que disponen de común denominador.
Dadas las fracciones algebraicas $$\dfrac{x^2+3}{x-1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x-1}{x+1}$$, encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.
1) En este caso, los denominadores ya están factorizados.
$$x-1$$
$$x+1$$
2) Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios denominadores. En el caso que no haya factores comunes, basta con calcular el producto de ambos:
$$mcm\{x-1,x+1\}=(x-1)\cdot(x+1)$$
3) Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x-1)}=(x+1) \Rightarrow (x^2+3)(x+1)=x^2\cdot(x+1)+3\cdot(x+1)=$$
$$=x^3+x^2+3x+3 \Rightarrow \dfrac{x^3+x^2+3x+3}{(x-1)\cdot(x+1)}$$
$$\dfrac{(x-1)\cdot(x+1)}{(x+1)}=(x-1) \Rightarrow (x-1)(x-1)=x^2-1\Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x^2-1}{(x-1)\cdot(x+1)}$$
Y ya tenemos dos fracciones equivalentes a las primeras que disponen de común denominador.
Dadas las fracciones algebraicas $$\dfrac{2}{x^2+1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x}{x+2}$$, encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.
1) En este caso, los denominadores ya están factorizados. Recordemos que a pesar de tener grado dos, el primer denominador es irreductible ya que no tiene raíces reales.
$$x^2+1$$
$$x+2$$
2) Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios denominadores. En el caso que no haya factores comunes, basta con calcular el producto de ambos:
$$mcm\{x^2+1,x+2\}=(x^2+1)\cdot(x+2)$$
3) Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.
$$\dfrac{(x^2+1)\cdot(x+2)}{(x^2+1)}=x+2 \Rightarrow 2\cdot(x+2)=2x+4 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \dfrac{2x+4}{(x^2+1)\cdot(x+2)}$$
$$\dfrac{(x^2+1)\cdot(x+2)}{(x+2)}=x^2+1 \Rightarrow x\cdot(x^2+1)=x^3+x \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x^3+x}{(x^2+1)\cdot(x+2)}$$
Y ya tenemos dos fracciones equivalentes a las primeras que disponen de común denominador.