Fracciones algebraicas equivalentes

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

$\frac{x^{2} - 3}{x + 1}$

$\frac{x^{4} + x^{3} + x - 1}{x^{3} + 2 x + 3}$

$\frac{x^{6}}{x - 2}$

De manera análoga a las fracciones, podemos definir que dos fracciones algebraicas son equivalentes si su producto en cruz es igual. Esto es, si tenemos: $\frac{p (x)}{q (x)} y \frac{r (x)}{s (x)}$ dos pares de fracciones algebraicas, serán equivalentes si, y sólo si: $p (x) \cdot s (x) = r (x) \cdot q (x)$

Ejemplo

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes: $\frac{x^{2} - 1}{x} y \frac{(x - 1)^{2}}{x}$ Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: $(x^{2} - 1) \cdot x = x^{3} - x$ $x \cdot (x - 1)^{2} = x \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ Que evidentemente no son polinomios iguales. Por lo tanto, las fracciones anteriores no son equivalentes.

Ejemplo

Veamos si este par de fracciones algebraicas son equivalentes: $\frac{x - 1}{x + 1} y \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} - 1}$ Para comprobarlo, realizaremos los productos cruzados: $(x - 1) \cdot (x^{2} - 1) = x \cdot (x^{2} - 1) - 1 \cdot (x^{2} - 1) =$ $= x^{3} - x - x^{2} + 1 = x^{3} - x^{2} - x + 1$

$(x + 1) \cdot (x - 1)^{2} = (x + 1) \cdot (x^{2} - 2 x + 1) =$ $x \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + 1 \cdot (x^{2} - 2 x + 1) = x^{3} - 2 x^{2} + x + x^{2} - 2 x + 1 =$ $= x^{3} - x^{2} - x + 1$ Efectivamente, son iguales, y por lo tanto, las fracciones anteriores son equivalentes.